Exercícios Resolvidos de Parametrização da Interseção de Superfícies

USP - Cálculo 2 - P1 2012 - 2b

Seja S a superfície de equação - 2 x 2 + y - 1 2 + z 2 = 1

b1) Estude a intersecção de S com cada plano x = k e com o plano y = 1 . Esboce S .

b2) Encontre uma parametrização para a intersecção de S com o plano 2 x + y = 2 .

Passo 1

b1)

“Estude” soou muito como “encha linguiça a respeito de...” Mas vamos tentar fazer alguma coisa pra não zerar a questão né, nem que seja só um “brain-storm” aleatório XD

Ok, deram uma superfície:

- 2 x 2 + y - 1 2 + z 2 = 1

E disseram que tem uns planos fatiando-a, em x = 1,2 , 3 … k . Para ficar mais fácil de visualizar, comecemos colocando uma constante real no lugar de k ? Por exemplo, se fosse x = k = 2 , teríamos:

- 2.2 2 + y - 1 2 + z 2 = 1

y - 1 2 + z 2 = 9

Opa, essa é clássica, não? É uma circunferência no plano x = 2 , paralelo ao y z , com centro em z = 0 e y = 1 .

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Passo 2

Show, mas e se k fosse simplesmente k ? Sabe, um número aleatório?

- 2 . k 2 + y - 1 2 + z 2 = 1

y - 1 2 + z 2 = 1 + 2 k 2

Opa, viu só? Vemos sempre, o examinador queira ou não, circunferências! Como k está ao quadrado, não importa se ele é negativo ou positivo, sempre vai dar uma circunferência descolada em 1 no sentido de y . A única coisa que vai mudar é o raio, no caso, 1 + 2 k 2 .

Passo 3

Agora que já “estudamos” os plano x = k , acho eu, o suficiente, vamos partir pro plano y = 1 e ver a curva que temos:

Substituindo y por 1 onde aparecer...

- 2 x 2 + 1 - 1 2 + z 2 = 1

z 2 - 2 x 2 = 1

Pronto! Consegue ver o que encontramos? Temos uma hipérbole desenhada no plano y = 1 paralelo ao x y :D

Passo 4

Depois disso tudo o que fizemos, fica mais intuitivo pensar em esboçar a superfície! Pense só, temos uma superfície, e sabemos a sua equação do “mundo tridimensional”, certo? Então, fatiamos ela por planos paralelos aos planos cartesianos, ou seja, por planos do tipo x = k , y = k , z = k . Se o planos são x = k , como no início da questão, então eles são paralelos ao plano O y z , se são y = k , são paralelos ao O x z , e se são z = k , são paralelos a O x y .

Sem mais enrolação, vamos analisar o que já fizemos? Se fatiamos a superfície com planos x = k , paralelos a O y z , encontramos circunferências, certo? Lembra que sempre encontrávamos elas, não importando o valor de k ? Se fatiamos por planos y = k , encontramos hipérboles. Analogamente, se tivéssemos anulado o z , teríamos encontrado hipérboles, pois teríamos x e y elevados ao quadrado, sendo um subtraído do outro...

Juntando essas três informações, temos um hiperboloide de uma folha!

Viu a circunferência aí quando x = 0 , deslocada em 1 no sentido positivo de y ? E não importa se k é maior ou menor que 0 nos planos x = k ! Sempre fatiaremos circunferências!

Passo 5

b2)

Beleza, agora temos que fazer a interseção entre - 2 x 2 + y - 1 2 + z 2 = 1 e 2 x + y = 2 . A maneira mais intuitiva é isolar o y , né? Ele já está quase isolado... Aí depois substituímos na equação da superfície :D

y = 2 - 2 x

Colocando na superfície:

- 2 x 2 + 2 - 2 x - 1 2 + z 2 = 1

- 2 x 2 + - 2 x + 1 2 + z 2 = 1

O que acha da gente desenvolver esse - 2 x + 1 2 ? Aí poderemos completar o quadrado, juntando com o - 2 x 2 que sobrou do lado esquerdo...

- 2 x 2 + 4 x 2 - 4 x + 1 + z 2 = 1

2 x 2 - 4 x + 1 + z 2 = 1

Completando o quadrado...

2 x 2 - 2 x + 1 - 1 + z 2 = 1

2 x - 1 2 + z 2 = 2

Dividindo por 2 , pra sair a equação certinha de uma elipse:

x - 1 2 + z 2 2 = 1

Passo 6

Agora só precisamos parametrizar com coordenadas elípticas! Hahaha o nome é feio, mas é assim mesmo.

O pensamento é o seguinte: Temos dois termos ao quadrado, sendo somados e igualados a 1 . Então, depois que fizermos nossa substituição, teremos que encontrar sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = 1 . Sacou?

No nosso caso, o primeiro termo é x - 1 2 . Queremos que x - 1 vire apenas cos ⁡ t , beleza? Então:

x - 1 = cos ⁡ t

x = cos ⁡ t + 1

Então dizemos que x = cos ⁡ t + 1 !

E o z ? Queremos que z 2 vire sin ⁡ t , certo? Então:

z 2 = sin ⁡ t

z = 2 sin ⁡ t

Então, z = 2 sin ⁡ t

Viu como é simples? Depois, de tanto fazer isso, você vai fazer sem pensar, vai sair naturalmente :)

E então a parametrização da curva é:

γ t = cos ⁡ t + 1 ,   - 2 cos ⁡ t , 2 sin ⁡ t

Resposta

b1)

b2)   γ t = cos ⁡ t + 1 ,   - 2 cos ⁡ t , 2 sin ⁡ t

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