Exercícios Resolvidos de Parametrização da Interseção de Superfícies

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Enunciado

Dê uma parametrização para a curva dada pela interseção das seguintes superfícies:

  1. z   =   3 x 2   +   y 2 e   z   +   6 x   =   9 .

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 3!!! Dessa vez estaremos trabalhando com parametrização das interseções. Vem comigo!!!

Nosso objetivo nessa questão é encontrar a parametrização de uma curva gerada por uma interseção. Para fazermos isso, primeiro descobrimos a interseção das curvas, e depois parametrizamos, podemos parametrizar e depois calcular as interseções. Vamos nessa!

Uma estratégia inicial é tentar deixar as outras variáveis em função de uma variável em comum. Por exemplo, deixar y   e   z em função de x

Passo 2

Queremos as interseções de z   =   3 x 2   +   y 2 e   z   +   6 x   =   9 .

Ou seja, queremos os pontos ( x , y , z ) que satisfazem as equações

Temos que

z   =   3 x 2   +   y 2

  z   +   6 x   =   9

Como podemos fazer essa interseção? Vamos começar na segunda equação

  z   +   6 x   =   9

⇒ z = 9 - 6 x

Agora substituindo na primeira equação, temos:

  9 - 6 x   =   3 x 2   +   y 2

⇒ y = ± - 3 x 2 - 6 x + 9

Mas precisamos que - 3 x 2 - 6 x + 9 ,   s e j a   b e m   d e f i n i d a .   E n t ã o   p r e c i s a m o s   q u e  

- 3 x 2 - 6 x + 9 ≥ 0

Usando Bhaskara. Descobrimos que

- 3 ≤ x ≤ 1

mas pela equação z   =   3 x 2   +   y 2 . Temos que z ≥ 0

Ou seja,

z = 9 - 6 x ≥ 0

⇒ x ≤ 3 / 2

Juntando as duas condições, temos

- 3 ≤ x ≤ 1

Passo 3

Ou seja, chegamos a conclusão que a nossa interseção é

x = x

z = 9 - 6 x

y = ± - 3 x 2 - 6 x + 9 com - 3 ≤ x ≤ 1

Logo, fazendo x = t a parametrização será

( t , 9 - 6 t ,   ± - 3 t 2 - 6 t + 9 )   c o m   - 3 ≤ t ≤ 1

Lembrando que uma curva pode ser parametrizada de várias formas distintas

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

( t , 9 - 6 t ,   ± - 3 t 2 - 6 t + 9 )   c o m   - 3 ≤ t ≤ 1

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