Exercícios Resolvidos de Parametrização da Interseção de Superfícies

Interseção de Superfícies, Reta Tangente e Plano Normal

A curva parametrizada x t , y t , z t ,   t ∈ R , obtida pela interseção do plano y + z = 2 com o cilindro x 2 + z 2 = 4 é dada por:

(a) 4 cos ⁡ t , 2 - 2 sen ⁡ t , 4 sen ⁡ t

(b) 4 cos ⁡ t , 4 - 4 sen ⁡ t , 4 sen ⁡ t

(c) 2 cos ⁡ t , 2 - 2 sen ⁡ t , 2 sen ⁡ t

(d) 2 cos ⁡ t , 2 ,   2 sen ⁡ t

(e) nenhum dos outros itens

Passo 1

Queremos parametrizar uma interseção de superfícies, então vamos seguir nosso procedimento padrão:

  • isolar uma variável de uma das equações das superfícies
  • substituir essa variável na outra equação
  • parametrizar essa projeção da curva com as outras duas variáveis
  • substituir essa parametrização na terceira variável que foi isolada

Então vamos pôr a mão na massa! :)

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O plano tem equação

y + z = 2

Tranquilinho pra isolar uma variável né? Então vamos fazer

z = 2 - y

Substituindo na equação do cilindro:

x 2 + z 2 = 4

x 2 + ( 2 - y ) 2 = 4  

Agora temos que parametrizar isso, e uma opção natural é utilizar a relação

cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t = 1

Multiplicando por 4:

4 cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t = 4

Ou seja:

2 cos ⁡ t 2 + 2 sen ⁡ t 2 = 4

Vamos comparar com a nossa equação:

x 2 + ( 2 - y ) 2 = 4     ⇔   2 cos ⁡ t 2 + 2 sen ⁡ t 2 = 4

⇒   x 2 + ( 2 - y ) 2 = 2 cos ⁡ t 2 + 2 sen ⁡ t 2

Então podemos parametrizar dessa forma:

x = 2 cos ⁡ t

2 - y = 2 sen ⁡ t   ⇒ y = 2 - 2 sen ⁡ t

Passo 3

Agora só falta substituir essa parametrização em z :

z = 2 - y

⇒ z = 2 - 2 - 2 sen ⁡ t

⇒ z = 2 sen ⁡ t

Portanto, a parametrização da curva é:

x t , y t , z t = ( 2 cos ⁡ t , 2 - 2 sen ⁡ t , 2 sen ⁡ t )

Resposta

Alternativa (c)

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