Exercícios Resolvidos de Parametrização da Interseção de Superfícies

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Enunciado

Dê uma parametrização para a curva dada pela interseção das seguintes superfícies:

  1. x 2   +   y 2   =   4   e   x 2   +   z 2   =   4 ,   s i t u a d a   n o   p r i m e i r o   o c t a n t e . .

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 3!!! Dessa vez estaremos trabalhando com parametrização das interseções. Vem comigo!!!

Nosso objetivo nessa questão é encontrar a parametrização de uma curva gerada por uma interseção. Para fazermos isso, primeiro descobrimos a interseção das curvas, e depois parametrizamos. Vamos nessa!

Passo 2

Queremos as interseções de x 2   +   y 2   =   4   e   x 2   +   z 2   =   4 ,   s i t u a d a   n o   p r i m e i r o   o c t a n t e . .

Ou seja, queremos os pontos ( x , y , z ) que satisfazem as equações

Temos que

s i t u a d a   n o   p r i m e i r o   o c t a n t e , ou seja, x , y , z ≥ 0

x 2   +   y 2   =   4   .

x 2   +   z 2   =   4   .

Como podemos fazer essa interseção? Vamos dizer que x = t , então

y = 4 - t 2

e

z = 4 - t 2

Mas precisamos que 4 - t 2 ≥ 0 ,   e   q u e   s j a   b e m   d e f i n i d a .   E n t ã o   p r e c i s a m o s   q u e  

4 - t 2 ≥ 0

⇒ - 2 ≤ t ≤ 2

Passo 3

Ou seja, chegamos a conclusão que a nossa curva parametrizada é dada por

( t , 4 - t 2 ,   4 - t 2 ) c o m   - 2 ≤ t ≤ 2

Lembrem, uma curva pode ser parametrizada de várias formas distintas. Talvez você possa ter usado as funções trigonométricas como forma de parametrizar.

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

( t , 4 - t 2 ,   4 - t 2 ) c o m   - 2 ≤ t ≤ 2

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