Exercícios Resolvidos de Parametrização da Interseção de Superfícies

Superfícies, Parametrização de Curva no R3

Considere as superfícies

S 1 = x , y , z ∈ R 3 |   x 2 + y 2 + z 2 = 4 ,   z ≥ 2    

S 2 = x , y , z ∈ R 3 |   z 2 = x 2 + y 2 ,   0 ≤ z ≤ 2

E considere S a superfície S = S 1 ⋃ S 2 e a curva espacial C = S 1 ⋂ S 2 .

a)Esboce a superfície S e, sobre ela, desenhe a curva espacial C .

b)Explicite uma parametrização β : a , b → R 3 da curva C , determinando a , b e β t .

c) Seja E = E 1 ⋃ E 2 a curva espacial obtida pela interseção da superfície S com o plano y = 1 , onde E 1 é a curva contida em S 1 e E 2 é a curva contida em S 2 .

  1. Desenhe a curva espacial E sobre a superfície S
  2. Identifique E 1 e E 2 como arcos de curvas planas conhecidas, denominando estas curvas e exibindo as suas equações cartesianas.
  3. Encontre os pontos A e B de interseção das curvas E 1 e E 2
  4. Explicite as parametrizações de E 1 e E 2 , identificando os domínios destas.

Passo 1

a) E aí? Por onde vamos começar?

Quando temos superfícies, a maneira mais simples de esboçá-las, e que não costuma dar errado, é anular uma variável por vez. Assim, vemos a curva definida pelo corte do plano formado pelas outras duas variáveis que sobraram.

Fazendo isso para S 1 , temos:

  x 2 + y 2 + z 2 = 4

Anulando z ,

  x 2 + y 2 = 4

Essa curva é uma circunferência de raio 2 , centrada na origem, no plano O x y . E olha que legal, se anularmos as outras duas variáveis, x e y , uma de cada vez, teremos:

  y 2 + z 2 = 4

x 2 + z 2 = 4

Que são outras duas circunferências, de mesmo raio 2 , nos planos O y z e O x z , respectivamente. Com essas três curvas, podemos perceber que S 1 é uma esfera!

Mas atenção, como z é maior do que 2 , não é a esfera toda, mas apenas a parte da esfera a partir de z = 2 :

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vejamos que superfície é essa S 2 .

z 2 = x 2 + y 2

Essa é a equação do cone circular que já vimos na parte de superfícies.

Mas aqui tem um detalhe, ele quer que z vá de 0 à 2

Passo 3

Show, agora que temos as duas superfícies, vamos encaixá-las (o que dá certinho) e a vamos pensar na curva C .

Bom, para encontrar a curva C , precisamos isolar uma variável de uma das superfícies e jogar na outra equação. É mais conveniente pegar o z do cone (que já está isolado) e jogar na equação da esfera:

z 2 = x 2 + y 2

Se pegarmos esse z 2 e jogar na esfera:

x 2 + y 2 + z 2 = 4

Temos:

x 2 + y 2 + x 2 + y 2 = 4

2 x 2 + 2 y 2 = 4

x 2 + y 2 = 2

E temos uma circunferência de raio 2 centrada no eixo z . Para saber em que altura ela se encontra, só jogar que x 2 + y 2 = 4 em qualquer uma das equações, da esfera ou do cone (pois essa curva pertence a ambos):

x 2 + y 2 + z 2 = 4

2 + z 2 = 4

z = 2

Ou seja, encontramos que a circunferência do passo anterior está em z = 2 ! Então, como no spoiler que dei, provamos que realmente essa circunferência está “flutuando” onde termina uma superfície e começa a outra. É tipo uma casquinha de sorvete, você só vê parte da bola ;)

O desenho das superfícies juntas, com a curva de interseção fica assim:

É tipo uma casquinha de sorvete :D

Passo 4

b) Essa foi dada de presente! Só precisamos pegar a curva que acabamos de encontrar e parametrizá-la!

x 2 + y 2 = 2

z = 2

Isso é uma circunferência, sabemos que a parametrização de uma circunferência é sempre com x 0 + r . cos ⁡ t   e y 0 + r . sen ⁡ t . Como ela tem o eixo z passando certinho pelo meio, estando deslocada apenas em 2 no sentido positivo desse eixo, acrescentamos esse valor constante para a coordenada z na nossa parametrização:

β t = x 0 + r . cos ⁡ t , y 0 + r . sen ⁡ t , 2

Como ela está em x 0 = y 0 = 0 , e seu raio vale 2 ,

β t = 2 . cos ⁡ t , 2 . sen ⁡ t , 2

E temos t variando entre 0 e 2 π , para fechar a circunferência completa :D

Passo 5

c.1) Essa é a hora que você pensa: AEEE!! Cheguei na última letra! Só que não. A letra c parece que vai render mais passos que a a e b juntas D: Essa parada tá indo de a até f ...

Partiu destruir essa questão, e é agora. Primeiro ele pede pra desenhar a curva E . Pelo enunciado, E é a borda do nosso sorvete fatiado. Pra ficar mais claro, peguemos o desenho anterior e acrescentemos esse plano   y = 1 :

Show, isso é suficiente para a primeira parte ;)

Passo 6

c.2) Agora que temos a curva E , que tem um pedaço na esfera e outro pedaço no cone, precisamos descobrir o que esses arcos são na verdade. Quando ele fala “curvas conhecidas”, é pra dizer se esse arco representa um pedaço de parábola, circunferência, reta, hipérbole, enfim, alguma curva que tenhamos ouvido falar em algum dia das nossas vidas.

Vamos chamar de E 1 o pedaço de E que pertence à esfera, beleza? Pra o encontrarmos, temos que fazer a interseção do plano que fatiou S 1 , que é a própria esfera. Como o plano é y = 1 , só colocar esse valor para y na equação da S 1 ! O y do plano meio que já “está isolado”:

x 2 + y 2 + z 2 = 4

x 2 + 1 2 + z 2 = 4

x 2 + z 2 = 3

Opa, encontramos uma circunferência de raio 3 , centrada em y = 1 ! Apenas ilustrando, ela é a curva de cima, que pertence à calota vermelha. A curva que está na parte do cone, é a E 2 ! Vamos ver quem ela é?

Passo 7

Vamos chamar de E 2 a parte de E que pertence ao cone. Trocando y por 1 quando aparecer:

z 2 = x 2 + y 2

z 2 = x 2 + 1 2

z 2 - x 2 = 1

E que curva é essa? É uma hipérbole! Sabemos disso por que temos duas variáveis elevadas ao quadrado, subtraídas uma da outra, igualadas a uma constante. Legal né!? Não? Tá, desculpa XD

Passo 8

c.3)Para saber os pontos onde as curvas se interceptam, isolamos uma variável delas e substituímos na equação da outra, como sempre fazemos. Se pegarmos a E 2 ,

z 2 - x 2 = 1

Isolando o z 2 ,

z 2 = x 2 + 1

Jogando esse valor em E 1 ,

x 2 + z 2 = 3

x 2 + x 2 + 1 = 3

2 x 2 = 2

x = ± 1

Tá, e o que isso significa? Significa que temos duas possibilidades para a coordenada x , uma para cada ponto. Se você olhar de novo no desenho, ambas as curvas, E 1 e E 2 , estão sobre o plano y = 1 , e qualquer coisa nesse plano sempre vai ter 1 como valor da coordenada y . Da mesma forma, nossa fatia é formada por duas curvas, e vemos que uma termina exatamente onde a outra começa, por que o cone e a esfera estão perfeitamente encaixados. Assim, a interseção entre E 1 e E 2 vai ter coordenada y = 1 , pois ambas estão no mesmo plano, e coordenada z = 2 , pois se interceptam na altura onde termina o cone e começa o pedaço de esfera!

Depois dessa filosofada toda, nossos pontos são 1,1 , 2 e - 1,1 , 2 :D

Aqui os dois pontinhos no nosso sorvete:

Passo 9

c.4)Agora sim!! Chegamos no último item!! Tao pedindo as parametrizações de E 1 e E 2 . E como faremos isso? Só isolar uma variável de cada uma e usar a outra como parâmetro! Olha só, para a E 1 teremos:

x 2 + z 2 = 3

z 2 = 3 - x 2

z = 3 - x

Usando x como parâmetro, teremos a curva γ 1 t = t , 1 , 3 - t 2 ! Lembrando que não temos a curva inteira, porque uma pedaço da fatia é um arco de circunferência e o outro de hipérbole, devemos dizer que t ∈ - 1,1 , como encontramos no passo anterior ;)

Fazendo a mesma coisa para E 2 , teremos:

z 2 = x 2 + 1

z = x 2 + 1

Usando x como parâmetro, teremos a curva γ 2 t = t , 1 , t 2 + 1 , com t ∈ - 1,1 !

Resposta

a)

b)   β t = 2 . cos ⁡ θ , 2 . sen ⁡ θ , 2 , θ ∈ 0,2 π

c) E 1 = γ 1 t = t , 1 , 3 - t 2 a curva na parte vermelha, E 2 = γ 2 t = t , 1 , t 2 + 1 a curva na parte amarela, ambas com t ∈ - 1,1

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