Exercícios Resolvidos de Parametrização da Interseção de Superfícies

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Enunciado

Uma parametrização para a intersecção dos gráficos das funções f x ,   y = 2 x 2 + y 2 e g x ,   y = 5 - 2 x 2 - 2 y 2 + 8 x + 6 y , em que x ,   y ∈ R 2 , é dada por

γ t = a + b cos ⁡ t ,   c + d   s e n   t ,   z t ,               t ∈ [ 0 ,   2 π ]

em que a , b , c e d são número reais positivos.

Então, a + b c + d é igual a

a) 1 + 3 3 .

b) 3 1 + 3 .

c) 3 2 + 6 .

d) 2 + 6 3 .

e) 3 2 + 3 .

Passo 1

Fala galerinha, bora fazer mais um problema?

Nesse exercício forneceram para gente duas funções f e g cujos gráficos são superfícies. A intersecção dessas superfícies é uma curva γ t = x t ,   y t ,   z t do tipo

γ t = a + b cos ⁡ t ,   c + d   s e n   t ,   z t ,               t ∈ [ 0 ,   2 π ]

Queremos achar as constante a , b , c e d .

Temos que

f x ,   y = 2 x 2 + y 2

g x ,   y = 5 - 2 x 2 - 2 y 2 + 8 x + 6 y

Para achar a intersecção das superfícies, igualamos:

f x ,   y = g ( x ,   y )

Assim,

2 x 2 + y 2 = 5 - 2 x 2 - 2 y 2 + 8 x + 6 y

Portanto,

4 x 2 - 8 x + 3 y 2 - 6 y = 5

Passo 2

Precisamos completar quadrados:

4 x 2 - 8 x = 4 x 2 - 2 x + 1 - 1 = 4 x - 1 2 - 4

3 y 2 - 6 y = 3 y 2 - 2 y + 1 - 1 = 3 y - 1 2 - 3

Portanto,

4 x 2 - 8 x + 3 y 2 - 6 y = 5 ⇒ 4 x - 1 2 - 4 + 3 y - 1 2 - 3 = 5

Assim,

4 x - 1 2 + 3 y - 1 2 = 12

Dividindo ambos os lados por 12 :

x - 1 2 3 + y - 1 2 4 = 1

Ou ainda,

x - 1 3 2 + y - 1 2 2 = 1

Passo 3

Lembrando da relação fundamental:

cos 2 ⁡ t + s e n 2 t = 1

Fazemos

x - 1 3 = cos ⁡ t               e                 y - 1 2 = s e n   t

Assim,

x t = 1 + 3 cos ⁡ t

y t = 1 + 2   s e n   t

Como γ t = a + b cos ⁡ t ,   c + d   s e n   t ,   z t , achamos que

a = 1 ,             b = 3 ,                 c = 1                     e                   d = 2

Assim,

a + b c + d = 1 + 3 1 + 2 = 1 + 3 3

Portanto, a resposta está na alternativa A 😉

Resposta

Alternativa A.

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