Exercícios Resolvidos de Parametrização da Interseção de Superfícies

UFRJ, Cálculo 2, PF 2013.1, M.E. 7

A curva parametrizada por x t , y t , z t , t   ∈ R , obtida pela interseção do plano z = 2 e o cone z 2 = x 2 + y 2 4 é dada por:

a) 2 cos ⁡ t , 4 s e n t , 2

b)   cos ⁡ t , 2 s e n t , 2

c) cos ⁡ t 2 , s e n t , 2

d) cos ⁡ t , s e n t 2 , 2

e) cos ⁡ t , s e n 4 t , 2

Passo 1

Vamos começar substituindo z = 2 na equação do cone:

4 = x 2 + y 2 4

Ajeitando:

1 = x 2 4 + y 2 16

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Sabemos que essa equação é de uma elipse. Vamos parametrizá-la.

x = 2 cos ⁡ t

y = 4 sen ⁡ t

Ainda sabemos que:

z = 2

Então, a equação paramétrica da curva de interseção é:

σ t = 2 cos ⁡ t , 4 sen ⁡ t ,   2 ,   t ∈ R  

Resposta

a) 2 cos ⁡ t , 4 sen ⁡ t , 2

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