Exercícios Resolvidos de Parametrização da Interseção de Superfícies

UERJ - Análise Vetorial - Lista Joice - 1i

Encontre a parametrização da curva obtida pela interseção do hiperbolóide de uma folha x 2 4 + y 2 - z 2 = 1 e o plano x + y = 0 .

Passo 1

Nosso objetivo é parametrizar uma curva, mas ela ainda não apareceu. Vamos descobrir que curva é essa?

Para fazer uma interseção basta isolar uma variável que as duas equações tenham em comum, e depois igualar os dois resultados. Vamos isolar o y ?

Na primeira equação temos:

x 2 4 + y 2 - z 2 = 1

isolando o y ...

y 2 = 1 + z 2 - x 2 4

y = 1 + z 2 - x 2 4

Na segunda equação temos:

x + y = 0

isolando o y ...

y = - x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora que temos o y devidamente isolado, podemos igualar uma equação à outra!

y = - x

y = 1 + z 2 - x 2 4

Igualando o lado direito das duas, temos....

1 + z 2 - x 2 4 = - x

Pronto conseguimos a equação de nossa interseção!

Passo 3

Agora é a parte mais trabalhosa, mas a parte boa é que é so trabalhdo braçal! Vamos ter que isolar novamente uma das variáveis, e então poderemos parametrizar a curva. Vamos isolar a variável z ?

1 + z 2 - x 2 4 = - x

elevando ao quadrado fica....

1 + z 2 - x 2 4 = x 2

Deixando só o z do lado esquerdo....

z 2 = x 2 + x 2 4 - 1

Desenvolvendo só mais um pouquinho....

z = 5 x 2 - 4 4

Perfeito!! Isolamos o z !

Passo 4

Finalmente! Só falta fazer a parametrização! Agora que temos o z isolado, podemos falar que x = t e deixar tudo em função deste parâmetro. Vamos lá:

z = 5 x 2 - 4 4

fazendo que x = t ...

z = 5 t 2 - 4 4

Como y = - x , temos também que y = - t

Prontinho! Temos todas as variáveis em função de t ! Agora basta colocar na forma parametrizada!

Resposta

Nossa função parametrizada fica:

γ t = t , - t , 5 t 2 - 4 4

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