Exercícios Resolvidos de Parametrização da Interseção de Superfícies

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Enunciado

Dê uma parametrização para a curva dada pela interseção das seguintes superfícies:

  1. x 2   +   y 2   +   z 2   =   R 2 e   4 ( x 2   +   y 2 )   =   R 2 ,   R   >   0 .

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 3!!! Dessa vez estaremos trabalhando com parametrização das interseções. Vem comigo!!!

Nosso objetivo nessa questão é encontrar a parametrização de uma curva gerada por uma interseção. Para fazermos isso, primeiro descobrimos a interseção das curvas, e depois parametrizamos. Vamos nessa!

Passo 2

Queremos as interseções de x 2   +   y 2   +   z 2   =   R 2 e   4 ( x 2   +   y 2 )   =   R 2 ,   R   >   0 .

Ou seja, queremos os pontos ( x , y , z ) que satisfazem as equações

Temos que

  4 ( x 2   +   y 2 )   =   R 2

x 2   +   y 2   +   z 2   =   R 2

Como podemos fazer essa interseção? Nesse caso, fica mais fácil parametrizamos primeiro. Note que a primeira equação é de uma circunferência. Parametrizando ela temos:

x = R / 2   *   c o s   t

y = R / 2   * s i n   t

c o m   0 ≤ t ≤ 2 π

Substituindo esses valores na segunda equação, temos que

x 2   +   y 2   +   z 2   =   R 2

⇒ R 2 / 4 + z 2 = R 2

Logo

z = ± 3 R / 2

Passo 3

Ou seja, chegamos a conclusão que a nossa curva parametrizada é dada por

( R / 2 * c o s   t , R / 2 * s i n   t , ± 3 R / 2 ) c o m   0 ≤ t ≤ 2 π

Que são duas curvas. Que faz sentido já que estamos fazendo a interseção de uma esfera com um círculo.

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

( R / 2 * c o s   t , R / 2 * s i n   t , ± 3 R / 2 ) c o m   0 ≤ t ≤ 2 π

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