Exercícios Resolvidos de Parametrização da Interseção de Superfícies

Interseção de superfícies

Qual das superfícies seguintes não intercepta o plano vertical x = 2 ?

(a) 2 x 2 + 9 y 2 + z 2 = 9

(b) 2 y + z 2 + 6 z + 9 = 0

(c) x - 2 2 - y 2 - z 2 = 0

(d) x 2 - 9 y 2 - z 2 = 9

(e) x 2 + 2 x - y + 9 z 2 = 4

Passo 1

Quando um ponto está na interseção de 2 superfícies, ele verifica a equação das duas né?

Então vamos substituir x = 2 na equação de cada superfície, aí se der algo absurdo do tipo y 2 + z 2 = - 3 significa que as superfícies não se interceptam, aí a gente sabe que vai ser a alternativa certa, beleza?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Alternativa (a):

2 x 2 + 9 y 2 + z 2 = 9

Substituindo x = 2 , fica:

2 ⋅ 4 + 9 y 2 + z 2 = 9

⇒   8 + 9 y 2 + z 2 = 9

⇒   9 y 2 + z 2 = 1

Dois números maiores ou iguais a zero somados dando 1, nada de errado aqui! Podemos ter y = 0 e z = 1 por exemplo.

Então vamos continuar!

Passo 3

Alternativa (b):

2 y + z 2 + 6 z + 9 = 0

Nem aparece x na equação dessa, então o x pode assumir qualquer valor, inclusive x = 2 , que não vai mudar nada na equação! Então essa superfície intercepta o plano x = 2 .

Se isso não te convenceu, você pode também achar algum valor pra ( x , y , z ) com x = 2 em que a equação é verificada, por exemplo x , y , z = 2 , - 9 2 ,   0 . Assim,

2 y + z 2 + 6 z + 9 = - 9 + 0 + 0 + 9 = 0

Bem, vamos pra próxima alternativa!

Passo 4

Alternativa (c):

x - 2 2 - y 2 - z 2 = 0

Fazendo x = 2 :

0 - y 2 - z 2 = 0

- y 2 ≤ 0 e - z 2 ≤ 0 . Então pra equação valer, temos que ter

- y 2 = 0     e   - z 2 = 0

⇒ y = 0     e     z = 0

Então a superfície intercepta o plano x = 2 no ponto ( 2 ,   0 ,   0 ) . É em um só ponto, mas intercepta!

Passo 5

Alternativa (d):

x 2 - 9 y 2 - z 2 = 9

Com x = 2 , isso dá

4 - 9 y 2 - z 2 = 9

⇒   - 9 y 2 - z 2 = 5

Opa! Esse é exatamente o tipo de equação absurda que eu falei no começo!

- 9 y 2 ≤ 0     e   - z 2 ≤ 0

então

- 9 y 2 - z 2 ≠ 5

Isso significa que essa superfície não tem nenhum ponto com x = 2 , portanto ela não intercepta o plano x = 2 .

Passo 6

Alternativa (e):

x 2 + 2 x - y + 9 z 2 = 4

Substituindo x = 2 :

4 + 4 - y + 9 z 2 = 4

⇒ - y + 9 z 2 = - 4

E essa equação tem infinitas soluções, como z = 0 e y = 4 por exemplo.

Portanto essa superfície intercepta o plano x = 2 .

Resposta

Alternativa (d)

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