Exercícios Resolvidos de Parametrização da Interseção de Superfícies

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Enunciado

Seja C a curva fechada dada pela interseção das superfícies de equações cartesianas z = x y e x 2 + y 2 = r 2 (Fig. 1).

( a ) Dê uma parametrização para a curva C .

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Temos uma curva C obtida pela interseção entre as superfícies z = x y e x 2 + y 2 = r 2 , a interseção ocorre como na figura

Nesta alternativa precisamos encontrar uma parametrização para a curva! Então, vamos ver que expressão obtemos quando fazemos a interseção das expressões! Saca só!

Passo 2

Note que podemos escolher a seguinte parametrização para o cilindro x 2 + y 2 = r 2 como

x ( t ) =   r   c o s ( t ) e y ( t )   =   r   s e n ( t ) , 0 ≤ t ≤ 2 π

Mas isso não é suficiente! Note que a interseção então requer que

z = x y = r 2   c o s ( t )   s e n ( t )

Desta forma, a parametrização da curva como um todo é dada por

( x , y , z ) = ( r   c o s ( t ) ,   r   s e n ( t ) ,   r 2   c o s ( t )   s e n ( t ) )

A primeira alternativa foi isso! Te vejo na próxima! Até já!

Resposta

( x , y , z ) = ( r   c o s ( t ) ,   r   s e n ( t ) ,   r 2   c o s ( t )   s e n ( t ) )

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