Exercícios Resolvidos de Parametrização da Interseção de Superfícies

Considere as superfícies descritas abaixo:

S 1 : z = x 2 + y 2   ; z ≤ 1

S 2 : y = 2

S 3 : 2 y + 2 z = 1

E estude as seguintes afirmações:

  1. S 1 ∩ S 2 é vazia
  2. S 1 ∩ S 3 �� vazia
  3. S 2 ∩ S 3 é uma reta

Marque a alternativa correta

  1. As afirmações I e II são falsas
  2. As afirmações I e II são verdadeiras
  3. As afirmações I e III são verdadeiras
  4. Todas as afirmações são falsas
  5. Todas as afirmações são verdadeiras

Passo 1

Bora fazer as interseções dessas superfícies.

Começando por S 1 ∩ S 2 :

Em S 2 já temos o y isolado, então vamos substituir em S 1 :

z = x 2 + 2 2

z = x 2 + 4

A princípio, não há problema nenhum nisso, mas, a questão diz pra gente que a superfície S 1 tem o valor de z limitado a 1 .

E se

z = x 2 + 4

Isso nunca vai ser menor que 1, porque a raiz quadrada de quatro já é 2 > 1 . Só teria jeito de isso ficar menor que 1 se subtraíssemos algo. Mas o x está elevado ao quadrado, portanto, será sempre algo maior ou igual a zero.

Assim, o menor valor que esse z pode assumir, quando y = 2 é

z = 0 2 + 2 2 = 2

Portanto, a interseção entre S 1 e S 2 é vazia.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos para a interseção S 1 ∩ S 3 .

Substituindo o z isolado de S 1 em S 3 , temos

2 y + 2 x 2 + y 2 = 1

O valor máximo que z pode assumir é 1 , assim

2 y + 2 1 = 1

y = - 1 2

Assim, quando z atinge seu valor máximo igual a 1, temos que

z = x 2 + - 1 2 2 = 1

x 2 = 1 - 1 4 = 3 4

x = ± 3 2

Ou seja, mesmo no limite, quanto z = 1 , não ocorre nada de impossível com x ou com y .

Isso significa que a interseção não é vazia.

Passo 3

Por fim, a interseção de S 2 ∩ S 3 .

Repare que tanto S 2 quanto S 3 são planos. E, a interseção de dois planos é, de fato, uma reta.

Então, poderíamos até fazer a interseção aqui substituindo y = 2 na superfície S 3 e chegaríamos a uma reta z = - 3 2   . Mas aí seria um trabalho só pra se você tivesse com tempo sobrando na prova, porque, de fato, não precisamos disso pra saber que a interseção de dois planos é uma reta.

Isso seria só uma prova.

Passo 4

Então, com tudo que fizemos aqui, concluímos que I e III são verdadeiras.

Resposta

L e t r a   c

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