Exercícios Resolvidos de Parametrização da Interseção de Superfícies

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Enunciado

Encontre uma parametrização para curva C dada pela intersecção do cilindro y 2 + z 2 = 9 e do plano x - 5 y = 6 . Além disso, encontre as equações paramétricas da reta tangente à curva C no ponto P = ( 6,0 , 3 ) .

Passo 1

Oiiie, tudo certinho contigo?

O enunciado quer que achemos uma parametrização para a curva C que é obtida quando fazemos a intersecção do cilindro

y 2 + z 2 = 9

com o plano dado por

x - 5 y = 6

Depois disso, iremos ter que encontrar a reta tangente a esta curva avaliada no ponto P = ( 6,0 , 3 ) . Okay, a primeira coisa que faremos é fazer a intersecção do cilindro com a curva e encontrar uma parametrização da forma

p ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) )

Tendo isso em mãos, vamos utilizar a equação da reta paramétrica

r ( t ) = ( x 0 + a t ,   y 0 + b t , z 0 + c t )

em que P = ( x 0 , y 0 , z 0 ) é um ponto que pertence a reta, e ( a , b , c ) são os coeficientes de inclinação da reta tangente, vamos obter isso derivando p ( t ) e avaliando no ponto P . Com tudo isso em mãos! Bora lá!

Passo 2

Para fazer a intersecção do plano com o cilindro, vamos usar a equação do plano para isolar y em termos de x , temos que

x - 5 y = 6

nos deixa escrever

y = 6 - x - 5 = x - 6 5

Substituindo este resultado na equação do cilindro, temos que

y 2 + z 2 = 9

intercepta o plano em

( x - 6 5 ) 2 + z 2 = 9

Reescrevendo um pouco a expressão acima, temos que

( x - 6 ) 2 225 + z 2 9 = 1

Essa é a equação de uma elipse que tem centro no ponto P = ( 6,0 , 0 ) . Você lembra como parametrizar? Vem comigo!

Passo 3

Uma elipse no plano x z pode ser parametrizada como

E ( t ) = ( x 0 + a   c o s ( t ) , 0   , z 0   + b   s e n ( t ) )

em que, os parâmetros acima podem ser identificados pela relação

( x - x 0 ) 2 a 2 + ( z - z 0 ) 2 b 2 = 1

podemos então identificar que x 0 = 6 e z 0 = 0 , assim como a = 15 e b = 3 , de forma que a nossa parametrização é

E ( t ) = ( 6 + 15   c o s ( t ) , 0   , 3   s e n ( t ) )

Vamos utilizar isso para calcular a nossa reta tangente! Vamos lá!

Passo 4

A equação paramétrica precisa dos coeficientes ( a , b , c ) , eles são obtidos derivando a equação paramétrica da elipse e avaliando no ponto desejado P = ( 6,0 , 3 ) , temos derivando a equação da elipse, que

d E ( t ) d t = ( d d t [ 6 + 15   c o s ( t ) ,   d d t ( 0 ) ,   3 d d t ( s e n ( t ) ) ] )

Temos os seguintes resultados que podem ser utilizados

d d t ( s e n ( t ) ) = c o s ( t )

assim como, temos que

d d t [ 6 + 15   c o s ( t ) ] = d d t [ 6 ] + 15 d d t [ c o s ( t ) ] = - 15   s e n ( t )

e como a derivada de 0 é 0 , temos que a derivada da equação parametrizada da elipse é

d E ( t ) d t = ( - 15   s e n ( t ) , 0 ,   3   c o s ( t ) )

Vamos trabalhar agora em achar os coeficientes! Saca só!

Passo 5

Precisamos achar o valor de t para o qual

d E ( t ) d t = ( - 15   s e n ( t ) , 0 ,   3   c o s ( t ) ) = ( 6,0 , 3 )

Ou seja, o valor de t no qual tenhamos

3   c o s ( t )   =   3 e - 15   s e n ( t )   = 6

Dividindo as duas equações uma pela outra, obtemos a seguinte expressão

- 15   s e n ( t ) 3   c o s ( t ) = 6 3

ou seja, precisamos de t , tal que

t g   ( t ) = - 2 5

Ou seja, temos que

t ≈ - 0.38

E, finalmente, os coeficientes ( a , b , c ) da reta tangente, são

( a , b , c ) = ( - 15   s e n ( - 0.38 ) , 0 ,   3   c o s   ( - 0.38 ) )

Ou, simplesmente, temos que

( a , b , c ) = ( 5.6,0 ,   2.78 )

Vamos escrever a equação da nossa reta tangente!

Passo 6

Lembrando aqui a equação paramétrica da reta, temos

r ( t ) = ( x 0 + a t ,   y 0 + b t , z 0 + c t )

o ponto que pertence a reta é P = ( x 0 , y 0 , z 0 ) = ( 6,0 , 3 ) e temos também que os coeficientes são ( a , b , c ) = ( 5.6 ,   0 ,   2.8 ) , temos então que

r ( t ) = ( 6 + 5.6 t ,   0,3 + 2.8 t )

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

A parametrização da curva é E ( t ) = ( 6 + 15   c o s ( t ) , 0   , 3   s e n ( t ) ) e a reta tangente é r ( t ) = ( 6 + 5.6 t ,   0,3 + 2.8 t )

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