Exercícios Resolvidos de Parametrização da Interseção de Superfícies

Interseção de Superfícies

Qual é um vetor diretor da reta que é a interseção dos planos 2 x + y - 3 z = 2 e x - 2 y + 3 z = 5 ?

(a) - 3 ,   9 ,   - 5

(b) - 3 , - 9 ,   5

(c) 3 , - 9 ,   5

(d) 3 ,   9 ,   5

(e) 3 ,   2 ,   2

Passo 1

Basta seguir o passo-a-passo pra esse tipo de questão!

Primeiro temos que isolar uma variável de uma das equações, por exemplo no primeiro plano podemos isolar a y :

2 x + y - 3 z = 2

⇒ y = - 2 x + 3 z + 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora substituímos a variável na outra equação:

x - 2 y + 3 z = 5

⇒ x - 2 - 2 x + 3 z + 2 + 3 z = 5

⇒ x + 4 x - 6 z - 4 + 3 z = 5

⇒ 5 x - 3 z = 9

⇒ 5 x = 3 z + 9

⇒ x = 3 5 z + 9 5

Então obtivemos uma reta!

Passo 3

Agora temos que parametrizar essa reta. Uma boa opção é

z = 5 t

Assim, obtemos

x = 3 5 5 t + 9 5

⇒ x = 3 t + 9 5

Passo 4

Só falta substituir essa parametrização em y , a variável que isolamos:

y = - 2 x + 3 z + 2

⇒ y = - 2 3 t + 9 5 + 3 ⋅ 5 t + 2

⇒ y = - 6 t - 18 5 + 15 t + 2

⇒ y = - 6 t + 15 t - 18 5 + 10 5

⇒   y = 9 t - 8 5

Passo 5

Recapitulando, temos

x t , y t , z t = 3 t + 9 5 ,   9 t - 8 5 ,   5 t

⇒   x t , y t , z t = 9 5 , - 8 5 ,   0 + 3 ,   9 ,   5 t

Portanto, o vetor diretor da reta é o vetor ( 3 ,   9 ,   5 ) .

Resposta

Alternativa (d)

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