Exercícios Resolvidos de Parametrização da Interseção de Superfícies

Interseção de Superfícies

A interseção das superfícies x 2 + y 2 + z 2 = 1 e x - 1 2 + y 2 + z 2 = 1 é:

(a) uma parábola

(b) uma hipérbole

(c) uma elipse

(d) as superfícies não se interceptam

(e) uma circunferência

Passo 1

Esse passo não é obrigatório mas às vezes é bom poder visualizar as superfícies na hora de abordar a questão.

Essas superfícies não são muito complicadas, então a gente pode começar determinando o que elas são. Repare que elas têm equações bem parecidas! Identificamos algo na forma

x - a 2 + y - b 2 + z - c 2 = r 2

que é a equação de uma esfera centrada em ( a , b , c ) e de raio r .

Então ambas têm raio 1, a primeira esfera tem a = b = c = 0 , enquanto a segunda tem a = 1 ,   b = c = 0 .

Ou seja, uma está centrada na origem e outra em ( 1,0 , 0 ) , portanto é a mesma esfera deslocada pro lado. Show!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos ao que interessa: a interseção das superfícies.

Basicamente queremos saber que figura geométrica formam os pontos que fazem parte tanto de uma superfície quanto da outra. E esses pontos, justamente por fazer parte das duas esferas, respeitam as equações das duas, certo?

Ótimo! Então pra esses pontos temos o sistema seguinte:

x 2 + y 2 + z 2 = 1   x - 1 2 + y 2 + z 2 = 1

Ou seja:

x 2 + y 2 + z 2 = x - 1 2 + y 2 + z 2

⇒ x 2 = x - 1 2 = x 2 - 2 x + 1

⇒ 2 x = 1

⇒ x = 1 2

Passo 3

Substituindo esse valor na primeira equação:

1 2 2 + y 2 + z 2 = 1

⇒ y 2 + z 2 = 3 4

⇒ y 2 + z 2 = 3 2 2

que é a equação de uma circunferência de raio 3 2 .

Observação: substituindo na 2ª equação dá no mesmo, pois 1 2 2 = 1 2 - 1 2 = 1 4 .

Olha como ficaram as esferas:

Resposta

Alternativa (e)

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