Exercícios Resolvidos de Pêndulo Físico

Molas e Pêndulos

Uma bolinha homogênea de massa m e raio r rola sem deslizar sobre uma calha cilíndrica de raio R ≫ r , na vizinhança do fundo, ou seja, na aproximação de ângulos pequenos. Dado I C M =   2 5   m r 2

  1. Faça um esquema das forças que agem sobre a bola e determina a força resultante.
  2. Escreva U θ e T ( d θ / d t ) .
  3. Mostre que o sistema é um oscilador com frequência angular ω =   5 g 7 R .
  4. Mostre que a função θ t = A   c o s ⁡ ( ω t + ϕ ) , onde A e ϕ são constantes é solução da equação diferencial.
  5. Considerando que no instante t =   0 o ângulo é θ 0 e a velocidade é υ 0 , determine a solução particular para este oscilador em termos de ω , x 0 , υ 0 , e t .
  6. Escreva as expressões para U ( t ) e T ( t ) , sendo U , a energia potencial e T a energia cinética.
  7. Mostre que E = T + U é independente do tempo.

Passo 1

a):

Esquema:

Vamos agora calcular o somatório das forças tangenciais e radiais.

Radiais:

A normal já está na direção radial, então não precisamos decompô-la. Já o peso e a força de atrito precisam ser decompostas em:

P r = P c o s θ = m g c o s θ

f a t r = 0

A força de atrito não tem uma componente na direção radial pois é sempre tangente a trajetória.

A a resultante das forças dá:

m g c o s θ - N = m a r

Só que a gente sabe da mecânica que:

a r = - ω 2 R

Logo:

m g c o s θ - N = - m ω 2 R = - m θ ˙ 2 R

E as forças na direção tangencial:

Precisamos decompor novamente o peso. A força de atrito já está na direção tangencial e a força normal é perpendicular à trajetória, logo:

P t g = P s e n θ = m g s e n θ

Logo, a resultante é:

m g s e n θ - f a t = m a = m R θ ¨

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b):

A energia potencial é dada por:

U = m g h

Bom, h é a distância da bolinha até o chão. Vamos dar uma olhada no esquema:

O nosso h vai ser aquele pedacinho ali, que pode ser calculado como:

R - R c o s θ = R 1 - c o s θ = h

Logo, a energia pode ser calculada por:

U θ = m g h = m g R ( 1 - c o s θ )

Queremos saber também T d θ d t , ou seja, a energia cinética em função da velocidade angular.

A energia cinética terá uma contribuição devido à rotação da esfera em torno de seu centro de massa e uma contribuição devido a translação do centro de massa.

T θ = T t r a n s + T r o t

Sendo:

T r o t = 1 2 I c m θ ˙ 2 = 1 2 I c m d θ ' d t 2

T t r a n s = m v c 2 2 = 1 2 m R 2 d θ d t 2

d θ ' d t 2 é um diferencial de θ ' pois esse ângulo é relativo à rotação da bolinha sobre o seu próprio eixo, e não o Ângulo maior na calha. Mas se não houver deslizamento:

R θ = - r θ '

Logo:

d θ ' d t = - R r d θ d t

Logo:

T θ = T t r a n s + T r o t

T θ = 1 2 m R 2 d θ d t 2 + 1 2 . 2 5 . m R 2 . R 2 r 2 d θ d t 2  

Onde usamos I c m = 2 5 m R 2 .

Consideremos que d θ d t ≈ d θ ' d t   → R r ≈ 1 :

T θ = 7 10 m R 2 d θ d t 2

Passo 3

c):

Vamos resolver essa usando o fato de que a energia mecânica se conserva.

A energia mecânica é:

E = U + T = c o n s t a n t e

Logo:

d E d t = 0

Logo:

d E d t = d U d T + d T d t = 0

Sendo:

U = m g R ( 1 - c o s θ )

E:

T = 7 10 m R 2 d θ d t 2

Vamos concluir a equação acima, lembrando de derivar corretamente, usando a regra da cadeia:

d E d t = d U d T + d T d t = m g R s e n θ d θ d t + 7 5 m R 2 d θ d t . d 2 θ d t 2 = 0

7 5 m R 2 d θ d t d 2 θ d t 2 + 5 g 7 R s i n θ = 0  

Ou seja, ou:

7 5 m R 2 d θ d t = 0

O que implicaria em d θ d t = 0 , o que não é o caso. Ou:

d 2 θ d t 2 + 5 g 7 R s i n θ = 0

Que é única possibilidade. Legal, mas isso é a equação de um oscilador! Para θ ≪ 1 , temos s e n θ ≈ θ :

d 2 θ d t 2 + 5 g 7 R θ = 0

Comparando com uma equação de MHS, vemos que :

ω 2 = 5 g 7 R   → ω = 5 g 7 R

Pronto (:.

Passo 4

d):

Vamos fazer as derivadas da função e substituir na equação diferencial pra provar:

θ t = A   c o s ⁡ ( ω t + ϕ )

θ ˙ t = - ω A s e n ( ω t + ϕ )

θ ¨ t = - ω 2 A c o s ( ω t + ϕ )

Substituindo em :

θ ¨ + ω 2 θ = 0

- ω 2 A c o s ω t + ϕ + ω 2 θ = 0

Sendo : θ t = A   c o s ⁡ ( ω t + ϕ )

Fica:

- ω 2 A c o s ω t + ϕ + ω 2 A cos ⁡ ω t + ϕ = 0

Como queríamos demonstrar!

Passo 5

e):

Bom, já sabemos o valor de ω . Basta a gente descobrir o valor de A e ϕ agora.Considerando que no tempo t = 0 a velocidade e o espaço inicial são v 0 e x 0 :

θ 0 = A c o s ω . 0 + ϕ = A c o s ϕ

θ ˙ 0 = - ω A s e n ω . 0 + ϕ = θ ˙ 0 = - ω A s e n ( ϕ )

Logo:

A 2 = A 2 c o s 2 ϕ + A 2 s e n 2 ϕ = θ 0 2 + θ ˙ 0 ω 2

A = θ 0 2 + θ ˙ 0 ω 2

Opa! Mas ali a gente escreveu θ 0 e θ 0 ˙ .Vamos escrever isso em função de x 0 e v 0 . Como podemos sempre escrever:

x = R θ

Que é definição de radiano. Podemos escrever x 0 em função do ângulo inicial e v 0 da velocidade angular inicial:

x 0 = R θ 0   → θ 0 = x 0 R

v 0 = R θ 0 ˙ → θ 0 ˙ = v 0 R

Logo:

A = x 0 2 R 2 + v 0 2 ω 2 R 2

E sendo:

θ ˙ 0 = - ω A s e n ϕ = v 0 R

θ 0 = x 0 R = A c o s ϕ

A gente pode fazer umas manipulações e tirar o ângulo ϕ usando arco tangente:

s e n ϕ = - v 0 ω R A

cos ⁡ ϕ = x 0 R A

Logo:

t g ϕ = - v 0 ω R A x 0 R A = - v 0 ω x 0   →   ϕ = - a r c t g   v 0 ω x 0  

Então a equação ficará:

θ t = x 0 2 R 2 + v 0 2 ω 2 R 2 . cos ⁡ 5 g 7 R t   - a r c t g   v 0 ω x 0  

Passo 6

f):

Aqui a gente vai precisar usar uma aproximação para ângulos pequena aplicada ao cosseno:

c o s θ = 1 - θ 2 2

A energia potencial fica:

U θ = m g R 1 - c o s θ = m g R θ 2 2

Ai vem o pulo do gato. Sabemos uma função do tempo para θ :

θ t = A c o s ( ω t + ∅ )

U t = m g R θ 2 2 = m g R A 2 c o s ω t + ∅ 2 2

Vamos fazer algo parecido cm a energia cinética:

T θ = 7 10 m R 2 d θ d t 2

Sendo:

d θ d t = - ω A s e n ( ω t + ∅ )

T t = 7 10 m R 2 . ω 2 A 2 s e n 2 ( ω t + ∅ )

Sendo:

ω = 5 g 7 R

T t = 7 10 m R 2 . 5 g 7 R . A 2 s e n 2 ω t + ∅ = m g R 2 A 2 s e n 2 ω t + ∅

Passo 7

g):

Vamos somar as duas expressões que achamos e ver o que acontece:

T t + U t = m g R A 2 c o s ω t + ∅ 2 2 + m g R 2 A 2 s e n 2 ω t + ∅ = m g R A 2 2 = c t e

Perfeito! As partes trigonométricas, que eram dependentes do tempo, se cancelaram pois cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ = 1 .

Resposta

a):

esquema.

m g c o s θ - N = - m ω 2 R = - m θ ˙ 2 R

m g s e n θ - f a t = m a = m R θ ¨

b):

T θ = 7 10 m R 2 d θ d t 2

U θ = m g h = m g R ( 1 - c o s θ )

c):

Demonstração

d):

Demonstração.

e):

θ t = x 0 2 R 2 + v 0 2 ω 2 R 2 . cos ⁡ 5 g 7 R t   - a r c t g   v 0 ω x 0  

f):

U t = m g R θ 2 2 = m g R A 2 c o s ω t + ∅ 2 2

T t = 7 10 m R 2 . 5 g 7 R . A 2 s e n 2 ω t + ∅ = m g R 2 A 2 s e n 2 ω t + ∅

g):

Demonstração.

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