Exercícios Resolvidos de Pêndulo Físico

Halliday e Resnick, Fundamentos de Física, Volume 2, 8ª edição, Cap 15, pp 111-84

Uma roda pode girar livremente em torno do seu eixo fixo. Uma mola é presa a um dos raios a uma distância de r do eixo, como mostra a figura. A roda gira em torno de seu centro.

(a) Supondo que a roda é um disco de massa m e o raio R , qual é a frequência angular ω das pequenas oscilações desse sistema em termos de m ,   R ,   r e da constante elástica k ? . Qual é o valor de ω para :

(b) r = R ?

(c) r = 0 ?

Dado:

Momento de inércia de um disco: I = m R 2 2

Passo 1

a) De cara, o enunciado tá pedindo a frequência angular. Então vamos tentar calcular isso!

Lembra da equação do MHS? Essa aqui:

x ¨ + ω 2 x = 0

Vamos tentar achar algo parecido com isso, que aí saberemos que o termo que acompanha o x é ω 2 , sacou? Show! Mas como esse cara tá RODANDO (e não se deslocando linearmente) vamos ter que usar deslocamentos angulares, não lineares. Vamos usar então θ em vez de x :

θ ¨ + ω 2 θ = 0

Agora vamos escrever a 2 ᵃ Lei de Newton para rotações (aquela que considera torque em vez de força):

τ R = I θ ¨

Em que I é o momento de inércia.

A única força que temos causando torque é a força da mola. Essa força será:

F m o l a = - k r θ

Porque, como são pequenas oscilações, a compressão da mola pode ser dada por r θ , que é o arco do círculo no movimento. Já o torque, vai ser essa força vezes a distância até o centro:

τ m o l a = - k r 2 θ

Igualando isso ao torque resultante:

τ R = I θ ¨ = - k r 2 θ

I θ ¨ + k r 2 θ = 0

Dividindo todo mundo por I :

θ ¨ + k r 2 I θ = 0

Comparando com o MHS pra rotações:

θ ¨ + ω 2 θ = 0

ω 2 = k r 2 I

ω = k r 2 I

Ok, agora podemos continuar.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos aplicar a equação que achamos pra frequência angular:

ω = k r 2 I

Quanto valerá I ? Está no enunciado:

I = m R 2 2

Assim:

ω = k r 2 m R 2 2 = 2 k r 2 m R 2

Passo 3

b)

Para r = R vamos ter:

ω = 2 k R 2 m R 2 = 2 k m

Passo 4

c)

Para r = 0 :

ω = 2 k r 2 m R 2 = 0 = 0

Faz sentido? Faz!!!

Perceba que quando r for zero, a mola estará aplicando a sua força logo em cima do centro de massa do disco, ou seja, ele não terá uma tendência a se inclinar ou girar!!!!

Resposta

a)

ω = 2 k r 2 m R 2

b)

ω = 2 k m

c)

0

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