Exercícios Resolvidos de Pêndulo Físico

Um pêndulo físico, imerso em um meio viscoso, oscila em torno de um eixo horizontal sob a ação da gravidade e da força de atrito viscoso com uma distância l entre o seu centro de massa e o eixo de rotação. No limite de pequenas oscilações, o pêndulo obedece à seguinte equação de movimento:

I θ ¨ = - ρ θ ˙ - M g l θ

Sendo I = 0,5   k g m 2 ,   ρ = 2   N s m ,   M = 2   k g ,   g = 10   m s - 1   e   l = 0,10   m . Se necessário, use l n ⁡ ( 4 ) ≅ 2 ≅ 1,4 .

(a) Determine a frequência natural de oscilação ( ω 0 ) e a constante de amortecimento ( γ ).

(b) Determine a solução da equação de movimento para θ t = 0 = 1 10 2 r a d e θ ˙ t = 0 = 0   r a d   s - 1 .

(c) Qual é o tempo necessário para que a amplitude do movimento seja reduzida para um quarto do valor inicial?

Passo 1

a) Temos a equação diferencial:

I θ ¨ + ρ θ ˙ + M g l θ = 0

Dividindo tudo por I:

θ ¨ + ρ I θ ˙ + M g l I θ = 0

Que é equivalente a equação

θ ¨ + γ θ ˙ + ω 0 2 θ = 0

Onde

ω 0 = M g l I = 2 × 10 × 0,10 0,5 = 2   r a d / s

γ = ρ I = 2 0,5 = 2 2     s - 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b) Para determinar o tipo de amortecimento da equação acima, precisando calcular:

Δ = γ 2 - 4 ω 0 2

Substituindo os valores

Δ = 2 2 2 - 4 × 2 2

Δ = - 8

Como Δ < 0 estamos no regime sub-crítico de amortecimento: a amplitude decai enquanto o sistema oscila. Que tem a seguinte equação como solução

θ t = A e - γ t / 2   c o s ⁡ ( ω t + ϕ )

Onde

ω = ω 0 2 - γ 2 4 = 2 2 - 2 2 2   4

ω = 4 - 2 = 2   r a d / s

Temos então a equação

θ t = A   e - 2 t cos ⁡ 2 t + ϕ

Onde A e ϕ são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.

Passo 3

A primeira condição que temos é θ t = 0 = 1 / 10 2 :

θ 0 = A cos ⁡ ϕ = 1 10 2

A segunda condição é θ ˙ t = 0 = 0   r a d   s - 1 :

d d t θ t = A [ - 2 e - 2 t cos ⁡ 2 t + ϕ - 2 e - 2 t s e n ( 2 t + ϕ ) ]

θ ˙ t = 0 = - A 2 cos ⁡ ϕ + s e n ϕ = 0

cos ⁡ ϕ + s e n ϕ = 0

s e n ϕ = - cos ⁡ ϕ

tan ⁡ ϕ = - 1

Então ϕ = - π 4 r a d , por exemplo.

Substituindo isso na primeira condição:

A cos ⁡ - π 4 = 1 10 2

A 2 = 1 10 2

A = 1 10 = 0,1   m

Temos a equação:

θ t = 0,1   e - 2 t cos ⁡ 2 t - π 4

Passo 4

c) A amplitude é a parte não oscilatória da equação que acabamos de calcular:

θ t = A ( t ) cos ⁡ 2 t - π 4

A t = 0,1   e - 2 t

Para que ela se reduza por uma fator 4, no instante T:

A T = A 4 = 0,1 4

0,1 4 = 0,1   e - 2 T

ln ⁡ 1 4 = - 2 T

T = ln ⁡ 4 2

Usando a aproximação do enunciado: l n ⁡ ( 4 ) ≅ 2 ≅ 1,4 :

T ≅ 1   s

Resposta

(a) ω 0 = 2   r a d / s , γ = 2 2   r a d / s

(b) θ t = 0,1   e - 2 t   c o s ⁡ ( 2 t - π / 4 )

(c) T ≅ 1   s

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