Exercícios Resolvidos de Pêndulo Físico

MHS

Dois pêndulos, cada um composto por um fio de comprimento l prendendo uma partícula de massa m , realizam um movimento harmônico simples (pequenas amplitudes) com uma mola de constante elástica k e massa desprezível unindo as massas no plano de oscilação. Quais o modos normais de oscilação?

  1. g l e g l + k m
  2. g l e 2 g l + 2 k m
  3. g 2 l e g 2 l
  4. g l e g l + k 2
  5. g l e g l + 2 k m

Passo 1

Bom galera, aqui temos a combinação de dois MHS: Um que é realizado pelo próprio pêndulo, e outro que ocorre entre as pontas do pêndulo, que estão conectadas por uma mola.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos primeiro analisar o pêndulo:

Como aa mola conecta as pontas dos pêndulos, nós podemos pensar nos dois pêndulos se comportando como um pêndulo.

Logo, a oscilação que ocorre lá embaixo, devido à mola, não vai interferir no movimento do pêndulo.

Então vamos calcular o movimento do pêndulo como se elas não existissem:

θ ¨ + g l θ = 0

ω 0 = g l

Passo 3

No caso da oscilação causada pela mola, tanto o pêndulo quanto a mola vão influenciar no movimento.

A força resultante sobre uma das pontas do pêndulo é a soma de duas forças:

A componente da força peso:

P t g = - m g s e n θ

E a força elástica:

F e l = - 2 k x c o s θ

A força é duplicada por que a mola vai se distender dos dois lados (:

Logo, a força resultante será:

F R = - m g s e n θ - 2 k x c o s θ

Pra pequenos valores de θ :

s e n θ ≈ θ

c o s θ ≈ 1

Logo:

F R = - m g θ - 2 k x

Só que temos x = l s e n θ ≈ l θ .

Vamos agora escrever a equação diferencial:

m a = - m g θ - 2 k l θ = θ - m g - 2 k l

a = l θ ¨  

Logo:

m l θ ¨ = θ - m g - 2 k l

m l θ ¨ + θ m g + 2 k l = 0

θ ¨ + θ g l + 2 k m = 0

Logo, ω 0 :

ω 0 = g l + 2 k m  

Resposta

e)

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