Exercícios Resolvidos de Pêndulo Físico

Molas e Pêndulos

O pêndulo da figura abaixo é formado por uma haste de comprimento L e uma chapa quadrada também de lado L , presos no ponto O de maneira que o conjunto possa se movimentar. Tanto a haste quanto a chapa são uniformes e possuem massa M . Os momentos de inércia em torno dos centros de massa de uma haste e de uma chapa quadrada são, respectivamente, I H = ( M L 2 ) / 12 e I C = ( M L 2 ) / 6 .

  1. Calcule a distância entre o ponto O e o centro de massa desse conjunto h a s t e + c h a p a .
  2. Se o pêndulo é posto para oscilar em torno do ponto O com ângulo pequeno, qual será o período de oscilação?

Passo 1

Vamos primeiro achar o centro de massa de cada peça. O centro de massa das peças fica no centro das peças, já que ambas são homogêneas. Então, em relação ao ponto O, os centros de massas são:

C M 1 = L 2

C M 2 = L + L 2 = 3 L 2

O centro de massa dois tem esse valor pois é essa a distância do ponto O até o centro da placa quadrada.

Pronto! Agora pra gente achar o centro de massa total a gente usa:

C M = M 1 C M 1 + M 2 C M 2 M 1 + M 2 = M . L 2 + M . 3 L 2 2 M = L

Essa é a distância procurada!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b):

Nesse item, a gente vai precisar primeiro achar o momento de inércia total de toda a peça em relação ao ponto O.

Esse momento vai ser dado por:

I o = I c m + 2 M d 2

Onde I c m é o momento do centro de massa resultante das duas peças e d é a distância do centro de massa da peça em relação ao ponto O, ou seja, o resultado de a ) .

O complicado aqui é achar I c m . Mas vamos pensar em como podemos fazer isso:

O centro de massa está na distância L do ponto O. As peças que o cercam são a barra e o quadrado.

Podemos, então, calcular o momento de inercia de cada peça em relação ao ponto O! Isso quer dizer: Calcular, usando o teorema dos eixos paralelos, o momento das peças em relação à d = L .

Para a barra:

I b a r r a L = I c m + M L 2 2 = M L 2 12 + M L 2 4

Já que a distância do centro de massa da barra ao ponto O é L 2 .

E o momento do quadrado é:

I p l a c a L = M L 2 6 + M L 2 4

Logo:

I c m = I b a r r a L + I p l a c a L = M L 2 12 + M L 2 4 + M L 2 6 + M L 2 4 = 3 M L 2 4

E:

I o = I c m + 2 M d 2 = 3 M L 2 4 + 2 M L 2 = 11 M L 2 4

Passo 3

Agora vamos calcular o período! De acordo com a nossa teoria, o cálculo da EDO do pêndulo físico é:

τ R = I α

Como α = θ ¨

⇒ - P d sen ⁡ θ = I θ ¨

⇒ I θ ¨ + P d sen ⁡ θ = 0

Para pequenos valores de θ : sen ⁡ θ ≈ θ

Então:

I θ ¨ + P d θ = 0

⇒ θ ¨ + P d I θ = 0

Onde P = 2 M g , no nosso caso. E I = I o . Logo:

ω 0 2 = 2 M g L I 0 = 2 M g L 11 M L 2 4 = 8 g 11 L

ω 0 = 8 g 11 L = 2 π T

T = 2 π 11 L 8 g

Resposta

a):

L

b):

T = 2 π 11 L 8 g

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