Exercícios Resolvidos de Pêndulo Físico

Um pêndulo formado por uma esfera de massa m e raio desprezível está suspenso verticalmente a partir do ponto O através de uma haste rígida de massa desprezível e comprimento L . A haste está ligada a duas molas idênticas de constantes elásticas k , massas desprezíveis, situadas a uma distância O A   =   d de O como mostrado na figura (a). As molas estão relaxadas (isto é nem esticadas, nem comprimidas) quando o pêndulo está na posição vertical. Para iniciar o balanço do pêndulo, você o desloca com as mãos até que a haste forme um pequeno ângulo θ 0   ( θ 0 ≪ 1 ) com a vertical, liberando-o a partir do repouso [figura (b)].

Dica: como o ângulo θ 0 é pequeno, considere que as molas permanecem essencialmente na horizontal durante todo o movimento.

(a) Utilize o sistema de coordenadas da figura e obtenha a equação que descreve o movimento do pêndulo.

(b) Para pequenas oscilações em relação à posição de equilíbrio do pêndulo, determine a freqüência angular de oscilação.

(c) Obtenha a função θ ( t ) para pequenas oscilações em relação à posição de equilíbrio.

SUGESTÕES:

• Item (a): Determine o(s) torque(s) em torno ao eixo de rotação ou utilize considerações energéticas.

Passo 1

(a) Como temos uma barra rígida e uma esfera, o sistema é um pêndulo físico. As sugestões dão a dica que a gente pode determinar a equação de movimento usando equação dos torques, ou por energia.

Por torque, basta olharmos todas as forças que agem no sistema e calcular o torque de cada uma delas:

τ = r → × F →

Depois somamos tudo para calcular o torque resultante e aplicamos a segunda lei de Newton para rotações:

τ R = I α

Onde α = θ ¨ e I é o momento de inércia do sistema.

Se preferir calcular por energia , basta somar todas as contribuições energéticas do sistema, cinética rotacional ( K ), potencial gravitacional ( U g ) e potencial elástica ( U e l ):

E = K + U g + U e l

E = I ω 2 2 + m g h + k x 2 2

Como todas as forças são conservativas e não há forças externas, a energia se conserva (constante), logo, podemos dizer que

d E d t = 0

E obter a equação de movimento derivando todos os termos energéticos e igualando a zero.

Vou te mostrar as duas e você escolhe qual você prefere!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

  1. Por Torque
  2. As forças que agem no pêndulo são o peso da esfera, o peso da haste (desprezível), as duas forças elásticas e a força normal no ponto de sustentação na extremidade superior da haste (ponto O).

    Vamos calcular o torque de cada uma em relação ao ponto O, usando r → ^ = r ( s e n θ x ^ - c o s θ y ^ ) .

    τ P = L s e n θ x ^ - c o s θ y ^ × - m g y ^

    τ P = - m g L s e n θ   z ^

    Cada mola exerce uma força elástica F e l = k d s e n θ x ^ , como são duas, multiplicamos por 2

    τ e l = 2 d s e n θ x ^ - c o s θ y ^ × k d s e n θ x ^

    τ e l = - 2 k d 2 s e n θ c o s θ   z ^

    Como a normal está sendo aplicada no ponto de rotação,

    τ N = 0

    Pronto! Temos o torque resultante

    τ R = - s e n θ [ m g L + 2 k d 2 c o s θ ]

    Usando a segunda lei de Newton

    - s e n θ m g L + 2 k d 2 c o s θ = I θ ¨

    Como a massa da haste é desprezível e o volume da esfera também, o momento de inércia em relação ao centro de massa é zero, e, pelo teorema dos eixos paralelos

    I = I C M + M L 2 = m L 2

    m L 2 θ ¨ = - s e n θ m g L + 2 k d 2 c o s θ

    Obtemos a equação diferencial

    θ ¨ + s e n θ g L + 2 k m d 2 L 2   c o s θ = 0

  3. Por Energia

Se você preferir calcular por energia, vamos calcular cada um dos termos. A energia cinética de rotação vai ser

K = I ω 2 2 = m L 2 θ ˙ 2

A energia potencial gravitacional depende da altura da esfera, em z . Considerando o zero de energia potencial na altura máxima da esfera, o deslocamento em z da esfera será h = - L c o s θ .

U g = - m g L c o s θ

A energia potencial elástica, como são duas molas, temos que multiplicar por 2, e o deslocamento das molas, na direção x , decompondo, será x = d s e n θ .

U e l = 2 k d s e n θ 2 2 = k d 2 s e n 2 θ

Somando tudo obtemos

E = 1 2 M L 2 θ ˙ 2 + k d 2 s e n 2 θ - m g L c o s θ

Pela conservação de energia

d E d t = 0

1 2 M L 2 2 θ ˙ θ ¨ + k d 2 2 s e n θ c o s θ θ ˙ + m g L s e n θ θ ˙ = 0

Rearranjando

θ ˙ [ m L 2 θ ¨ + 2 k d 2 s e n θ c o s θ + m g L s e n θ ] = 0

Como θ ¨ ≠ 0 , então

m L 2 θ ¨ + 2 k d 2 s e n θ c o s θ + m g L s e n θ = 0

Rearranjando, chegamos na mesma equação de antes

θ ¨ + s e n θ g L + 2 k m d 2 L 2   c o s θ = 0

Passo 3

(b) “Para pequenas oscilações”, tá, você já ouviu isso antes, só aproximar o seno e o coseno.

θ ≪ 1

s e n θ ≅ θ

c o s θ ≅ 1

Chegamos em

θ ¨ + g L + 2 k m d 2 L 2 θ = 0

A solução dessa EDO é um movimento harmônico simples com frequência angular

ω = g L + 2 k m d 2 L 2

Passo 4

(c) Para descobrir θ ( t ) , temos que lembrar que a solução da EDO acima é um MHS, que pode ser descrito de duas formas (as duas são equivalentes).

θ t = A c o s ω t + B s e n ω t = C c o s ( ω t + ϕ )

Você pode escolher qualquer uma delas, que vai dar no mesmo, eu escolhi a primeira forma

θ t = A c o s ω t + B s e n ω t

Basta aplicarmos as condições iniciais, que o ângulo inicial é θ 0 e que a velocidade inicial é nula, para descobrir C e ϕ

θ t = 0 = θ 0

θ 0 = A c o s 0 + B s e n 0 = θ 0

A = θ 0

E, derivando,

θ ˙ 0 = 0

θ ˙ t = - ω A s e n ω t + ω B c o s ω t

θ ˙ 0 = ω B = 0

B = 0

Juntando tudo, obtemos

θ t = θ 0 c o s ⁡ ( ω t )

Resposta

(a)

θ ¨ + s e n θ g L + 2 k m d 2 L 2   c o s θ = 0

(b) ω = g L + 2 k m d 2 L 2

(c) θ t = θ 0 c o s ⁡ ( ω t )

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