Exercícios Resolvidos de Pêndulo Físico

Um haltere de comprimento 2 L é formado por uma haste de massa desprezível e duas esferas de massa m . O haltere pode girar livremente em torno do ponto O , formando um ângulo θ em relação à horizontal. Uma mola, de constante elástica k está conectada a uma distância L / 2 do ponto O e encontra-se relaxada (nem comprimida nem esticada) quando o ângulo θ é zero. Considerando pequenos valores de θ , obtenha:

(a) A equação diferencial que rege o comportamento oscilatório do haltere.

(b) A frequência natural de oscilação do haltere. Expresse a resposta em termos de m , k e L .

Passo 1

Temos que essa mola irá exercer um torque. Tomando como positivo a direção anti-horária o torque é dado por

τ → = r → × F →

O ângulo entre os vetores r → e F → é π / 2 - θ

τ = r F s e n π 2 - θ

τ = - L 2 k Δ x s e n π 2 - θ

Pela figura temos que a distensão da mola Δ x é dada por

Δ x = L 2 s e n θ

Assim

τ = - k L 2 2 s e n θ s e n π 2 - θ

Podemos usar a seguinte identidade trigonométrica para rescrever esse último seno menos simpático

s e n a - b = s e n a cos ⁡ b - s e n b cos ⁡ a

De forma que

s e n π 2 - θ = s e n π 2 cos ⁡ θ - s e n θ cos ⁡ π 2 = cos ⁡ θ

Assim temos o torque dado por

τ = - k L 2 2 s e n ( θ ) c o s ⁡ ( θ )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora temos que fazer a aproximação para ângulos pequenos. Vamos expandir o seno e o cosseno até termos lineares em θ

s e n θ ≈ θ

cos ⁡ θ ≈ 1

Assim a intensidade do torque fica

τ = - k L 2 2 θ

Definindo como positivo o eixo z saindo da folha, temos que pela regra da mão direita que o torque aponta para dentro da folha, de forma que

τ → = - k L 2 2 θ z ^

Passo 3

Já a segunda lei de Newton para rotações nos diz que

τ → = I α → = I θ ¨ z ^

Temos que

I θ ¨ = - k L 2 4 θ

E o momento de inercia do haltere é dado por

I = ∑ m r 2 = m L 2 + m L 2

I = 2 m L 2

Assim

2 m L 2 θ ¨ = - k L 2 4 θ

θ ¨ = - k 8 m θ

E essa equação diferencial para θ

Passo 4

A equação obtida é a equação de um oscilador harmônico em θ .

Essa equação pode ser reescrita como

θ ¨ = - ω 2 θ

Onde podemos identificar a frequência como

ω 2 = k 8 m

ω = k 8 m

Resposta

  1. θ ¨ = - k 8 m θ
  2. ω = k 8 m

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