Exercícios Resolvidos de Pêndulo Físico

Molas e Pêndulos

Uma haste rígida de comprimento L e massa M está suspensa em um ponto que dista L 3 do centro de gravidade da haste. No instante t = 0 a haste é abandonada a partir do repouso de um ângulo θ 0 com a direção vertical. Considere o limite de oscilações com ângulos pequenos.

  1. Obtenha a equação diferencial que descreve o movimento de rotação da haste.
  2. Determine o período de oscilação T 0 da haste nessas circunstâncias.
  3. Obtenha a solução θ ( t ) da equação diferencial.
  4. Obtenha a energia mecânica da haste no ângulo θ 0 2 .
  5. Determine a razão T e / T o onde T e é o período de oscilação quando suspensa por sua extremidade.

Formulário adicional: Momento de inércia de uma barra delgada e uniforme de comprimento L e massa M em relação a um eixo vertical que passa pelo seu centro: I c = M L 2 12

Passo 1

  1. Pela nossa teoria, sabemos que a equação diferencial de um pêndulo físico fica assim:
  2. I θ ¨ + P d sen ⁡ θ = 0  

    Quando θ ≪ 1 , s e n θ ≈ θ .Além disso, temos que calcular o momento de inércia do eixo de rotação, já que esse não passa pelo centro de massa:

    I = I c + M L 3 2 = M L 2 12 + M L 2 9 = 7 M L 2 36

    Então, a equação fica:

    θ ¨ + P d I θ = 0   →   θ ¨ + M g L 3 7 M L 2 36 θ = 0   →   θ ¨ = - 12 g θ 7 L  

    Passo 2

  3. :
  4. A equação de um MHS pode ser escrita como:

    θ ¨ + ω 0 2 θ = 0

    Show! Então podemos identificar na equação de a) a nossa velocidade angular:

    ω 0 2 = 12 g 7 L   → ω 0 = 12 g 7 L

    Sendo:

    ω 0 = 2 π T 0   → T 0 = 2 π ω 0 = 7 π 2 L 3 g

    Passo 3

  5. Bom a equação diferencial que estamos tratando é uma EDO. Então a solução geral é do tipo:
  6. θ t = acos ⁡ ω 0 t + b s e n ω 0 t

    θ ˙ t = - a ω 0 s e n ω 0 t + b ω 0 c o s ⁡ ( ω 0 t )

    O sistema parte do repouso e de um ângulo θ 0 . Logo:

    θ 0 = acos ⁡ 0 + b s e n 0 = θ 0   → a = θ 0

    θ ˙ 0 = - a ω 0 s e n 0 + b ω 0 cos ⁡ 0 = 0   → b = 0

    Substituindo na equação do início:

    θ t = θ 0 cos ⁡ ω 0 t = θ 0 cos ⁡ 12 g 7 L t

    Passo 4

  7. Vamos primeiro dar uma olhada na figura:
  8. Pra gente calcular a energia potencial do centro de massa da haste em relação ao nível potencial mais baixo ( Que no nosso caso a gente considerou como a pontinha da haste quando a esticamos), vamos pegar a altura L 3 ( 1 - c o s θ ) ( Essa continha é tranquila, basta pegar o comprimento total, L 3 , e subtrair dele o comprimento devido à inclinação da barra L 3 c o s θ ).

    Então a energia mecânica, que é a soma da energia potencial mais a energia cinética, será:

    E M = E c + E p = I θ ˙ 2 + M g H

    E M = I θ ˙ 2 + M g L 3 ( 1 - c o s θ )

    Lembrando que a energia cinética é a energia cinética de rotação. E como θ ≪ 1 , podemos usar a aproximação:

    c o s θ ≈ 1 - θ 2 2

    Substituindo na equação de energia mecânica:

    E M = I θ ˙ 2 + 1 6 M g L θ 2

    Vamos agora usar a expressão de θ ( t ) para achar o tempo t ' que o oscilador levou para chegar em θ 0 2 :

    θ t ' = θ 0 cos ⁡ ω 0 t ' = θ 0 2   → t ' = π 3 ω 0

    Pois:

    θ 0 cos ⁡ ω 0 . π 3 ω 0 = θ 0 cos ⁡ π 3 = θ 0 2

    Logo o valor da velocidade quando t = t ' será ( Vamos antes derivar a função):

    θ ˙ t = - ω 0 θ 0 s e n ( ω 0 t )

    θ ˙ t ' = - ω 0 θ 0 s e n ω 0 . π 3 ω 0 = - θ 0 ω 0 s e n π 3 = - θ 0 ω 0 3 2

    Substituindo o valor de ω 0 , θ ˙ t ' e o valor do momento de inércia na equação da energia mecânica, obteremos:

    E M = I θ ˙ 2 + 1 6 M g L θ 2 → E M = 1 2 7 36 M L 2 θ 0 2 ω 0 2 . 3 4 + 1 6 M g L θ 0 2 4  

    Com o valor de ω 0 :

    E M = 1 6 M L g θ 0 2

    Passo 5

  9. :

Para a haste suspensa pela ponta, fica bem fácil de se calcular a nova equação diferencial. O braço de alavanca do torque do peso agora é L 2 , já que o centro de massa da barra está exatamente na metade de seu comprimento. Logo, a equação diferencial será:

I θ ¨ = - M g L 2 s e n θ

Só que quem é esse momento de inércia ai? Bem, é o momento de inércia de um eixo que passa pela ponta da barra. A gente pode calcular ele usando:

I = I c m + M L 2 2 = M L 2 12 + M L 2 4 = 1 3 M L 2

Arrumando a equação:

1 3 M L 2 θ ¨ + M g L 2 s e n θ = 0

Dividindo todo mundo por 1 3 M L 2 :

θ ¨ + 3 g 2 L s e n θ = 0

Mesma história de sempre: s e n θ ≈ θ :

θ ¨ + 3 g 2 L θ = 0

Logo:

ω 0 = 3 g 2 L

Usando ω = 2 π T :

T = 2 π 2 L 3 g = 8 π 2 L 3 g = T e

Sendo T 0 = 7 π 2 L 3 g :

T e T o = 8 π 2 L 3 g 7 π 2 L 3 g = 8 7    

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Resposta

a):

θ ¨ = - 12 g θ 7 L

b):

T 0 = 2 π ω 0 = 7 π 2 L 3 g

c):

θ t = θ 0 cos ⁡ ω 0 t = θ 0 cos ⁡ 12 g 7 L t

d):

θ t = θ 0 cos ⁡ ω 0 t = θ 0 cos ⁡ 12 g 7 L t

e):

8 7

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