Exercícios Resolvidos de Pêndulo Físico

Halliday e Resnick, Fundamentos de Física, Volume 2, 8ª edição, Cap 15, pp 109-43.

Na figura, o pêndulo é formado por um disco uniforme de raio r = 10,0 c m e 500 g de massa preso a uma barra uniforme de comprimento L = 500 m m e massa m = 270 g .

  1. Calcule o momento de inércia em relação ao ponto de suspensão.
  2. Qual é a distância entre o ponto de suspensão e o centro de massa do pêndulo?
  3. Calcule o período de oscilação.

Dados:

Momento de inércia de centro de massa de um disco de massa M :

I C M = M R 2 2

Momento de inércia de centro de massa de uma barra de massa M :

I c m = M L 2 12

Gravidade:

g = 10   m / s 2

Passo 1

a):

Vamos olhar o esquema abaixo:

Como você pode ver, o C M vai estar mais deslocado pro circulo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bora calcular o momento de inércia do conjunto em relação ao ponto de rotação. O momento de inércia vai ser a soma dos momentos de inércia da barra e do círculo:

I = I b a r r a + I c í r c u l o

Como o eixo de rotação não passa por cima de nenhum dos centros de massa, teremos que usar o teorema dos eixos paralelos em cada caso.

Primeiro a barra:

I b a r r a = M L 2 12 + M L 2 2 = M L 2 3 = 270.10 - 3 . 500.10 - 3 2 3 = 22,5 . 10 - 3   k g . m 2

Perceba que a distância do centro de massa da barra até o eixo de rotação é L 2 .

Agora o do círculo:

I c i r c u l o = M R 2 2 + M L + r 2

Sacou? Percebeu que a distância do centro do disco até o eixo é o comprimento da barra mais o raio do círculo?

Beleza, então:

I c í r c u l o = 500.10 - 3 . 10.10 - 2 2 2 + 500.10 - 3 . 10.10 - 2 + 500.10 - 3 2 = 182,5.10 - 3   k g . m 2

Assim:

I = 22,5 . 10 - 3 + 182,5.10 - 3 = 205 . 10 - 3 k g . m 2

Passo 3

b):

Vamos calcular agora a posição do centro de massa do pêndulo. Se você não lembra muito bem desse assunto, dê uma olhada no nosso conteúdo de Física 1 (:

O centro de massa será dado por:

x C M = ( M b a r r a . x b a r r a + M c i r c u l o . x c i r c u l o ) M b a r r a + M c i r c u l o

A gente tá tomando a origem como sendo o ponto de rotação. Se liga nisso (:

Além disso, cada x de cada objeto é a posição do centro de massa do mesmo em relação ao ponto de rotação.

Assim:

x C M = 270.10 - 3 . 250.10 - 3 + 500.10 - 3 . 10.10 - 2 + 500.10 - 3 270.10 - 3 + 500.10 - 3 = 47,7 c m = 470 m m

Como a gente tinha visto, a posição do centro de massa está bem deslocado pra posição do círculo.

Passo 4

c):

Agora que a gente já calculou tudo que tínhamos que calcular, fica fácil calcular o período de oscilação. Só a gente aplicar a fórmula:

T = 2 π I P d

Onde P é o peso do corpo todo e d a distância do centro de massa do corpo até o ponto de rotação.

No caso, como calculamos o centro de massa em relação ao centro de rotação, o d vai ser o próprio valor da posição x :

d = x C M = 47,7.10 - 2 m

E o peso vai ser dado por:

P = M + m g = 270.10 - 3 + 500.10 - 3 . 10 = 7,7   N

E como:

I = 205 . 10 - 3 k g . m 2

Podemos aplicar todos os valores na equação do período:

T = 2 π I P d = 2 π 205 . 10 - 3 7,7   . 47,7.10 - 2 = 1,50   s

Resposta

a):

I = 205 . 10 - 3 k g . m 2

b):

x C M = 47,7 c m = 470 m m

c):

T = 1,50   s

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