Exercícios Resolvidos de Pêndulo Físico

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Enunciado

Um pêndulo de comprimento l , inicialmente em repouso na sua posição de equilíbrio, recebe um impulso que lhe comunica instantaneamente uma velocidade angular v o / l no sentido anti-horário. Seja ω a frequência angular das oscilações. A função θ ( t ) que descreve corretamente seu movimento, supondo pequenas oscilações, é:

  1. θ t = v o l ω s e n ( ω t )
  2. θ t = v o ω c o s ( ω t - π )
  3. θ t = v o l ω c o s ω t
  4. θ t = v o l s e n ω t

Passo 1

Inicialmente, sabemos que a equação do MHS é descrita como:

θ t = θ o c o s ( ω t + ϕ )

E a velocidade (derivando):

θ ˙ t = - ω θ o s e n ω t + ϕ

Mas como no instante t = 0 , instante em que ele recebeu o impulso, o ângulo θ é igual a 0 ° (pêndulo na posição vertical), devemos ter:

θ 0 = θ o c o s ϕ = 0

Por isso:

ϕ = π 2

Ou:

ϕ = 3 π 2

Vamos descobrir qual dos dois valores usar! Quando t = 0 a velocidade angular é positiva. Então:

θ ˙ 0 = - ω θ o s e n ϕ > 0

Pra isso ser verdade, s e n ϕ < 0 . Então:

ϕ = 3 π 2

E a equação vai ficar:

θ t = θ o c o s ω t + 3 π 2

E a velocidade como:

θ ˙ t = - ω θ o s e n ω t + 3 π 2

Passo 2

Show, agora que achamos as equações do MHS, temos que achar o valor de   θ o , porque ele não aparece na equação. E como vamos fazer isso?

Pra isso, você tem que tá ligadx que a velocidade angular quando o pêndulo passa pela posição mais baixa vai ser máxima. Porque nesse ponto temos energia potencial mínima, logo, teremos energia cinética máxima. Sacou?

E a velocidade máxima é a amplitude da velocidade. Ou seja:

θ ˙ t = - ω θ o s e n ω t + 3 π 2

θ ˙ m á x = ω θ o

Mas como essa velocidade máxima é a velocidade no ponto mais baixo, vamos ter:

θ ˙ m á x = ω θ o = v o / l

Que é a velocidade no ponto mais baixo, imediatamente após o impulso.

Então podemos isolar θ o :

θ o = v o l ω

E substituindo na equação do MHS:

θ t = v o l ω c o s ω t + 3 π 2

Passo 3

Puts, nossa resposta não bateu. E agora?

Vamos abrir esse cosseno aí:

cos ⁡ a + b = c o s a c o s b - s e n a s e n b

c o s ω t + 3 π 2 = c o s ω t c o s π 2 - s e n ω t s e n 3 π 2

c o s ω t + π 2 = s e n ω t

Substituindo:

θ t = v o l ω s e n ω t

Só uma observação:

Você pode tá pensando: a energia cinética leva em consideração a velocidade tangencial, v , não a velocidade angular θ ˙ . Acontece que como:

v = θ ˙ l

A velocidade v vai ser máxima quando θ ˙ for máxima, e vice-versa. Ou seja, nossa análise está corretíssima!

Fim da observação.

Resposta

Letra A

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