Exercícios Resolvidos de Região Retangular e Teorema de Fubini

Howard Anton, Irl Bivens, Stephen Davis, Cálculo – Volume II, 8ª ed. Porto Alegre: ARTMED EDITORA S.A, 2005, pag 1035-59.

Calcule

R   x y 2 d A

na região R mostrada na figura abaixo,

Passo 1

Bem, vamos começar escrevendo essa região, ok? Para isso, vamos dividí-la em 3 partes:

Chamando o retângulo verde de R 1 , o amarelo de R 2 e o azul de R 3 , temos o seguinte:

R   x y 2 d A = R 1   x y 2 d A + R 2   x y 2 d A + R 3   x y 2 d A

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, vamos encontrar os inter valos de cada integral.

Para o retângulo verde, temos:

- 2 x 2 ;             1 y 2

Para o amarelo:

- 2 x - 1 ;             0 y 1

Para o azul:

1 x 2 ;             0 y 1

Passo 3

Aplicando o Teorema de Fubini, temos:

R   x y 2 d A = 1 2 - 2 2 x y 2 d x d y + 0 1 - 2 - 1 x y 2 d x d y + 0 1 1 2 x y 2 d x d y

Repare que a ordem dos intervalos está de acordo com a ordem dos diferenciais!

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral de dentro, integrando em x :

R   x y 2 d A = 1 2 x 2 2 y 2 x = - 2 x = 2 d y + 0 1 x 2 2 y 2 x = - 2 x = - 1 d y + 0 1 x 2 2 y 2 x = 1 x = 2 d y

R   x y 2 d A = 1 2 y 2 2 - 2 d y + 0 1 y 2 1 2 - 2 d y + 0 1 y 2 2 - 1 2 d y

R   x y 2 d A = - 3 2 0 1 y 2 d y + 3 2 0 1 y 2 d y

R   x y 2 d A = 0 1 y 2 d y 3 2 - 3 2 = 0

Resposta

0

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