Exercícios Resolvidos de Região Retangular e Teorema de Fubini

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Enunciado

Esboce a região de integração e calcule as integrais a seguir

f ) ∫ 0 1 ∫ 1 e x ( x + y ) d y d x

Passo 1

Oi, tudo bem?

Vamos olhar com carinho essa integral aqui

∫ 0 1 ∫ 1 e x x + y d y d x

O problema pediu para esboçar a região e para calcular! Bom, você sabe por onde começar?

A ideia é começar olhando para a ordem de integração, no nosso caso

d y   d x

E analisar os limites de integração! O mais de dentro está relacionado com o y e o mais externo está relacionado com o x , assim

1 ≤ y ≤ e x

0 ≤ x ≤ 1

A ideia é retirar quatro equações (os extremos dos limites), esboçar todas juntas no mesmo gráfico e encontrar os pontos de encontro! E depois? Depois é #partiu integrar! Beleza?

Bora começar?

Passo 2

Nossos limites são

1 ≤ y ≤ e x

0 ≤ x ≤ 1

Tiramos daqui quatro equações

y = e x

y = 1

x = 0

x = 1

Então vamos esboçar essas quatro curvas! Ficamos com

Nossa região é aquela que tem a exponencial por cima e a reta por baixo! É só olhar para o limite de integração e ver qual função é o limite superior e qual é o inferior! Beleza?

Tudo bem até aqui? Agora é #partiu integrar!

Passo 3

Integrando em y temos

∫ 0 1 ∫ 1 e x x + y d y d x = ∫ 0 1 x y + y 2 2 1 e x d x = ∫ 0 1 x   e x + e 2 x 2 - x - 1 2 d x

E por fim em x

= x e x - e x + e 2 x 4 - x 2 2 - x 2 0 1 = e - e + e 2 4 - 1 2 - 1 2 - - 1 = e 2 - 1 4

Beleza? Espero ter ajudado!

Resposta

e 2 - 1 4

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