Exercícios Resolvidos de Região Retangular e Teorema de Fubini

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Enunciado

2 – Calcular:

∬ R   e - x 2 d x d y

Em que R é a região delimitada por x = 4 y , y = 0 e x = 4 .

Passo 1

Fala aí! Tudo belezinha por aí? Vamos resolver mais essa questão juntos? Vem comigo!

Bem, o problema pediu pra gente calcular essa integral, que é uma integral dupla

∬ R   e - x 2 d x d y

E disse que é pra gente fazer isso na região R delimitada por x = 4 y , y = 0 e x = 4 . Mas o que isso quer dizer?

Bom, o primeiro passo será entender que região é essa, e para isso nós teremos que desenhá-la. Assim nenhum dado vai passar batido. Então bora fazer isso.

Passo 2

Nossa região de integração foi definida como sendo x = 4 y , y = 0 e x = 4 . Vamos começar desenhando essa primeira reta, a x = 4 y .

Para facilita a visualização vamos inverter essa função fazendo y = x 4 . Belezinha?

Agora vamos desenhar a reta y = 0

E também a reta x = 4

Ao fazer isso nós fechamos uma região R que é a nossa região de integração:

Perceba que se olharmos na direção do eixo x , nossa região começa em x = 0 e termina em x = 4 , assim podemos perceber que 0 ≤ x ≤ 4 . Já no eixo y , nossa região começa na reta y = 0 e termina na reta y = x 4 , assim podemos dizer que 0 ≤ y ≤ x 4 . E acabamos de obter nossos limites de integração.

Aqui vai uma dica muito importante, na hora de fazer a integração, fica muito mais tranquilo colocar a variável que está variando entre funções na integral de dentro, e a que está variando entre constantes na integral de fora.

Assim, nossa integral se tornará

∫ 0 4 ∫ 0 x 4 e - x 2 d y d x

Note que o intervalo da integral de fora está de acordo com d x e o da de dentro, com d y

Agora nossa preocupação é a de resolver essa integral. Então, bora lá!

Passo 3

Para resolver essa integral vamos utilizar o Teorema de Fubini, que diz que nós devemos fazer a integral de dentro, como se a de fora não existisse e depois, com o resultado da de dentro, fazer a integral de fora.

∫ 0 4 ∫ 0 x 4 e - x 2 d y d x

Olhando só para a integral de dentro, teremos:

∫ 0 x 4 e - x 2 d y

Perceba que essa integral está em y , então e - x 2 é visto como uma constante e pode ficar do lado de fora da integral

e - x 2 ∫ 0 x 4 d y

Essa integral é igual a

e - x 2 y y = o y = x 4

Agora vamos aplicar o princípio fundamental do cálculo substituindo os limites de integração na função que acabamos de encontrar. Lembrando que integramos e x , então a substituição será só em x . Ok?!

e - x 2 ⋅ x 4 - e - x 2 ⋅ 0

= x 4 e - x 2

Show!!! E esse é o resultado da integral de dentro. Agora devemos fazer a integração de fora usando esse resultado como nossa função.

Passo 4

Devemos, então, integrar em relação a x , substituindo o valor que encontramos no passo 3.

∫ 1 4 x 4 e - x 2   d x

Podemos colocar o 1 4 do lado de fora da integral, pois ele é uma constante.

1 4 ∫ 1 4 x e - x 2 d x

E para resolver essa integral teremos que fazer uma substituição simples.

Fazendo

u = - x 2

d u = - 2 x d x

x d x = - d u 2

E a integral se torna

- 1 2 1 4 ∫ 1 4 e u d u

E a integral de e u é o próprio e u . Assim, ficamos com:

- 1 8 e u

Voltando para a variável x , nossa integral se torna

1 4 ∫ 1 4 x e - x 2 d x = - 1 8 e - x 2 x = 1 x = 4

Maravilha!!! Agora basta aplicar os limites de integração, ficando com

- 1 8 e - 4 2 - - 1 8 e - 0 2

- 1 8 e 16 - - 1 8

= 1 8 1 - 1 e 16

E prontinho, encontramos o valor da nossa integral dupla.

Partiu próxima?!!!

Resposta

∬ R   e - x 2 d x d y = 1 8 1 - 1 e 16

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