Exercícios Resolvidos de Região Retangular e Teorema de Fubini

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Enunciado

Esboce a região de integração e calcule as integrais a seguir

c ) ∫ 0 2 ∫ 1 3 x - 2 sin ⁡ y d x d y

Passo 1

Oi, tudo bem?

Vamos olhar com carinho essa integral aqui

∫ 0 2 ∫ 1 3 x - 2 sin ⁡ y d x d y

O problema pediu para esboçar a região e para calcular! Bom, você sabe por onde começar?

A ideia é começar olhando para a ordem de integração, no nosso caso

d x   d y

E analisar os limites de integração! O mais de dentro está relacionado com o x e o mais externo está relacionado com o y , assim

1 ≤ x ≤ 3

0 ≤ y ≤ 2

A ideia é retirar quatro equações (os extremos dos limites), esboçar todas juntas no mesmo gráfico e encontrar os pontos de encontro! E depois? Depois é #partiu integrar! Beleza?

Bora começar?

Passo 2

Nossos limites são

1 ≤ x ≤ 3

0 ≤ y ≤ 2

Tiramos daqui quatro equações

y = 2

y = 0

x = 3

x = 1

Então vamos esboçar essas quatro curvas! Ficamos com

Nossa região é aquela que tem a reta por cima e a parábola por baixo! É só olhar para o limite de integração e ver qual função é o limite superior e qual é o inferior! Beleza?

Tudo bem até aqui? Agora é #partiu integrar!

Passo 3

Integrando em x temos

∫ 0 2 ∫ 1 3 x - 2 sin ⁡ y d x d y

Mas temos um módulo no integrando! Então vamos dividir em duas integrais

∫ 0 2 ∫ 1 2 ( x - 2 ) sin ⁡ y d x d y + ∫ 0 2 ∫ 2 3 ( 2 - x ) sin ⁡ y d x d y

= ∫ 0 2 x 2 2 - 2 x 1 2 sin ⁡ y d y + ∫ 0 2 - x 2 2 + 2 x 2 3 sin ⁡ y d y

= ∫ 0 2 - 1 2 sin ⁡ y d y + ∫ 0 2 - 9 2 sin ⁡ y d y

E por fim em y

= 1 2 cos ⁡ y 0 2 + 9 2 cos ⁡ y 0 2

= 1 2 cos ⁡ 2 - 1 2 + 9 2 cos ⁡ 2 - 9 2 = 5 cos ⁡ 2 - 5

Beleza? Espero ter ajudado!

Resposta

5 cos ⁡ 2 - 5

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