Exercícios Resolvidos de Região Retangular e Teorema de Fubini

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Enunciado

13 – Prove que

lim n → + ∞ ⁡ ∫ 0 1 ∫ 0 1 x n y n d x d y = 0

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão, vamos calcular a integral dupla de x n y n onde em x e y os limites de integração vão se 0 a 1 .

Com base no resultado que vamos encontrar, vamos aplicar no limite onde n tendo a + ∞ e mostrar que o resultado tende a 0 .

Parece complicado? 🤔

Como podemos começar nossos cálculos?

Podemos separar d x d y pelo método da separação de funções. Quando temos uma função de integração do tipo f x f y , podemos separar as integrais como

∫ f x d x ∫ f y d y

Aplicando isso à nossa integral, temos

∫ 0 1 x n d x ∫ 0 1 y n d y

Assim podemos ganhar mais tempo! Veja só.

Passo 2

A integral de x n pode ser calculada pelo método de integração polinomial, onde somamos 1 na sua potência e dividimos a variável pelo resultado.

∫ x n d x = x n + 1 n + 1

Aplicando os limites de integração

∫ 0 1 x n d x = 1 n + 1 n + 1 - 0 n + 1 n + 1

Como 1 elevado a qualquer número é 1 , então

∫ 0 1 x n d x = 1 n + 1

Para y n vamos fazer o mesmo procedimento

∫ y n d y = y n + 1 n + 1

Aplicando os limites de integração

∫ 0 1 y n d y = 1 n + 1 n + 1 - 0 n + 1 n + 1

∫ 0 1 y n d y = 1 n + 1

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Multiplicando os resultados, vamos ter o resultado final da integral dupla.

∫ 0 1 ∫ 0 1 x n y n d x d y = ∫ 0 1 x n d x ∫ 0 1 y n d y

∫ 0 1 ∫ 0 1 x n y n d x d y = 1 n + 1 · 1 n + 1

∫ 0 1 ∫ 0 1 x n y n d x d y = 1 n + 1 2

Agora aplicamos esse resultado no limite

lim n → + ∞ ⁡ 1 n + 1 2

Substituindo n por + ∞ , temos

lim n → + ∞ ⁡ 1 n + 1 2 = 1 ∞ + 1 2

Quanto é 1 / 10000 ? E 1 / 10 · 10 ^ 15 ? Perceba que quanto mais aumentamos o denominador, menor é o resultado, ou seja, quando n tende ao infinito, a fração tende a um número tão pequeno que é quase 0 , logo

lim n → + ∞ ⁡ 1 n + 1 2 = 0

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

lim n → + ∞ ⁡ 1 n + 1 2 = 0

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