Exercícios Resolvidos de Região Retangular e Teorema de Fubini

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Enunciado

(Cap 15.2 – Ex 15) Calcule a integral dupla.

∬ R s e n ( x + y ) d A ,   R = x , y 0 ≤ x ≤ π 2 ,   0 ≤ y ≤ π 2

Passo 1

E ai meus amores, tudo bem?

Bora pra mais uma?

Encostaa!

A região R é um retângulo, então o diferencial de área é ou d x d y ou d y d x .

A escolha vai depender da dificuldade de resolver a primeira integral.

Como aqui não faz muita diferença, vou fazer d y d x .

∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 s e n x + y d y d x

= ∫ 0 π 2 - cos ⁡ x + y y = 0 y = π 2 d x

= - ∫ 0 π / 2 cos ⁡ x + π 2 - c o s x   d x

Se tudo der certo ficamos com uma integral apenas em x ! Se liga nisso! Não pode sobrar nenhum y a partir daqui!

Passo 2

Agora é só resolver a integral restante!

= - ∫ 0 π 2 cos ⁡ x + π 2 - c o s x   d x

= - s e n x + π 2 - s e n x x = 0 x = π 2

Passo 3

E agora vamos aplicar nos limites:

= - s e n π 2 + π 2 + s e n π 2 - s e n π 2 - s e n 0

= - s e n π + 1 - 1 + 0 = 0

Resposta

Portanto, o resultado é 0.

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