Exercícios Resolvidos de Região Retangular e Teorema de Fubini

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Enunciado

1) Calcule a integral

∫ ∫ R x 1 + x y   d A ,

Onde R = 0,1 × [ 0,1 ] .

Passo 1

Falaaa aí... Beleza???

Nessa questão vamos calcular a integral dupla:

∫ ∫ R x 1 + x y   d A

E foi dada essa região R , que vamos usar pra achar os limites de integração.

Lembrando que d A é pra simbolizar “área”, e que a área, no plano cartesiano, pode ser representada por x × y , então podemos escrever:

d A = d x d y

Daí vamos ter:

∫ ∫ R x 1 + x y   d x d y

Pra resolver uma integral dupla, primeiros integramos em relação a x ou y e o outro consideramos constante. Por exemplo, se formos integrar em relação a x primeiro, vamos considerar o y constante e podemos reescrever:

∫ ∫ x 1 + x y d x d y

Depois integramos, o resultado dessa integral em x , em relação a y .

Vambora botar a mão na massa que tudo fica mais palpável.

Passo 2

Vamos começar esboçando a região R pra achar os intervalos de integração:

Oh... temos um quadrado bonitinho. E notamos que x varia de 0 a 1 e y também varia de 0 a 1. Esses são os limites de integração.

∫ 0 1 ∫ 0 1 x 1 + x y d x d y

Show...

Passo 3

Agora precisamos decidir se vamos integrar primeiro em relação a x ou em relação a y .

Bom... como temos uma região retangular, então não vai fazer muita diferença. Podemos integrar em relação a x ou a y primeiro.

Escolhendo y (e deixando x constante), podemos reescrever:

∫ 0 1 ∫ 0 1 x 1 + x y d y d x

Usando substituição simples, vamos resolver a integral de dentro ∫ 0 1 x 1 + x y d y :

Chamando de u = 1 + x y , ficamos com:

x d y = d u

E para os intervalos de integração:

- em y = 0 :

u = 1 + x 0

u = 1

- em y = 1 :

u = 1 + x 1

u = 1 + x

Daí ficamos com:

∫ 1 1 + x 1 u d u

Resolvendo a integral:

= ln ⁡ u 1 1 + x

= ln ⁡ 1 + x - ln ⁡ 1

= ln ⁡ 1 + x

E, assim, a integral dupla vira:

∫ 0 1 ∫ 0 1 x 1 + x y d y d x = ∫ 0 1 ln ⁡ 1 + x d x

Passo 4

“Só” falta calcular essa integral que sobrou. Vamos usar integração por partes (ninguém merece integrar ln, né? rs)

Lembrando que a integração por partes é algo do tipo:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Podemos escrever:

∫ 0 1 1 ln ⁡ 1 + x d x

Vamos chamar, de forma que o ln suma (derivando o bichinho, né?):

u = ln ⁡ 1 + x → d u = 1 1 + x d x

d v = 1   d x → v = x

Daí ficamos com:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ 0 1 ln ⁡ 1 + x d x = x ln ⁡ 1 + x 0 1 - ∫ 0 1 x 1 + x d x

∫ 0 1 ln ⁡ 1 + x d x = ln ⁡ 2 - ∫ 0 1 x 1 + x d x

Passo 5

Resolvendo a última integral ∫ 0 1 x 1 + x d x , vamos usar substituição simples, de novo:

Chamando de u = 1 + x → d u = d x . Agora temos uma peculiaridade. Vamos fazer uma manipulação pra fazer a mágica acontecer:

x = - 1 - u

Então:

∫ - 1 - u u d u = - ∫ 1 u + 1 d u

Resolvendo:

= - ln ⁡ u + u

Voltando pra x :

= - ln ⁡ 1 + x - 1 + x

Temos:

∫ 0 1 x 1 + x d x = - ln ⁡ 1 + x - 1 + x 0 1

= - ln ⁡ 1 + 1 - 1 + 1 - - ln ⁡ 1 + 0 - 1 + 0

= - ln ⁡ 2 - 2 + 1

= - ln ⁡ 2 - 1

Substituindo pra achar o resultado:

∫ 0 1 ln ⁡ 1 + x d x = ln ⁡ 2 - ∫ 0 1 x 1 + x d x

∫ 0 1 ln ⁡ 1 + x d x = ln ⁡ 2 - - ln ⁡ 2 - 1

= 2 ln ⁡ 2 - 1

= ln ⁡ 2 2 - 1

= ln ⁡ 4 - 1

Então:

∫ ∫ R x 1 + x y   d A = ln ⁡ 4 - 1

Ufaa... essa foi pesadinha, heim!? Mas acabamos \o/

Bora pra próxima?

Resposta

ln ⁡ 4 - 1

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