Exercícios Resolvidos de Região Retangular e Teorema de Fubini

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Enunciado

1 - Calcule ∬ R f x , y d x d y , onde:

a) f x , y = x e x y e R é o retângulo x , y ∈ R 2 1 ≤ x ≤ 3 ,   0 ≤ y ≤ 1 ;

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão, vamos obter a integral dupla de f x , y = x e x y em R , onde R é formado pelo retângulo x , y ∈ R 2 1 ≤ x ≤ 3 ,   0 ≤ y ≤ 1 .

Não entendeu nada? Relaxa, vamos devagar

R é a região descrita por um retângulo que em x varia entre 1 e 3 , e em y varia entre 0 e 1 , formando assim

Nessa área temos que calcular o volume que f forma, ou seja, a integral de f limitada por esse retângulo.

E ai? Melhorou?

Bora lá

Passo 2

Primeiro vamos montar a integral. No enunciado foi dito que

∬ R f x , y d x d y

Se f x , y = x e x y , logo

∬ R x e x y d x d y

Agora vamos substituir R na nossa integral.

Aqui temos que colocar os limites que queremos integrar, por exemplo, queremos integras de 1 a 3 em x então esse é nosso limite de integração em x .

Já em y , nosso limite de integração é de 0 a 1 .

Ok, mas como colocamos isso na integral?

Observe no fim da integral está escrito d x d y , ou seja, primeiro vamos integrar com relação a x e depois com relação a y .

Com isso, nos aplicamos os limites de integração da seguinte maneira

O símbolo de integração mais próximo de f representa o primeiro na ordem de integração e o mais longe é o segundo.

Em cima vai o maior número pois nesse saco estamos integrando do maior para o menor.

Ou seja

∫ 0 1 ∫ 1 3 x e x y d x d y

Entendeu? 😎

Passo 3

Para facilitar nossos cálculos podemos inverter as integrais, veja só

∫ 1 3 ∫ 0 1 x e x y d y d x

Quando fazemos isso, temos que mudar d x d y de ordem e trocar as integrais.

Com isso, vamos calcular a integral com relação a y

∫ 0 1 x e x y d y

Assim como na derivada, a integral de e é o próprio e , então

∫ 0 1 x e x y d y = x e x y x y = 0 1

∫ 0 1 x e x y d y = e 1 x - e 0

Simplificando o resultado, temos

∫ 0 1 x e x y d y = e x - 1

Tranquilo até aqui?

Passo 4

Agora vamos aplicar esse resultado na integral de x .

∫ 1 3 e x - 1 d x

Assim como em derivadas, a integral de uma soma é igual a soma das integrais, logo

∫ 1 3 e x d x - ∫ 1 3 1 d x

Sabemos que a integral de e x é igual a e x e a integral de 1 é igual a x

∫ 1 3 e x d x - ∫ 1 3 1 d x = e x - x

Aplicando os limites de integração, temos

e x - x ​ x = 1 3 = e 3 - 3 - e 1 - 1

Com isso, chegamos no resultado de

∫ 0 1 ∫ 1 3 x e x y d x d y = e 3 - e - 2

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

∫ 0 1 ∫ 1 3 x e x y d x d y = e 3 - e - 2

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