Exercícios Resolvidos de Região Retangular e Teorema de Fubini

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Enunciado

Calcule

∬ R   x sen ⁡ y - y e x   d x   d y

onde R = - 1,1 × [ 0 , π / 2 ] .

Passo 1

A primeira coisa a entender direitinho é esse retângulo R , ele deu dois intervalos, o primeiro em x e o segundo em y , a ordem é sempre essa não esqueça disso.

x ∈ - 1,1

y ∈ 0 , π 2

Vamos separar a integral dupla em integrais iteradas:

∫ 0 π / 2   ∫ - 1 1 x sen ⁡ y - y e x   d x   d y

Passo 2

Agora, vamos calcular a integral de dentro em relação a x (lembre-se, tome y como constante!)

∫ 0 π 2   ∫ - 1 1 x sen ⁡ y - y e x   d x d y =

∫ - 1 1 x sen ⁡ y - y e x   d x

= x 2 2 s e n   y - y e x - 1 1

= 1 2 sen ⁡ y - y e - 1 2 sen ⁡ y - y e

= - y e + y e

Passo 3

Integraremos, então, em relação a y :

∫ 0 π 2   - y e + y e   d y

= - e y 2 2 + y 2 2 e y = 0 y = π 2 =

= 1 2 - e π 2 4 + π 2 4 e - 0 =

Resposta

π 2 8 - e + 1 e

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