Exercícios Resolvidos de Região Retangular e Teorema de Fubini

Ver Teoria

Enunciado

(Cap 15.1 – Ex 4) (a) Estime o volume do sólido que está abaixo da superfície z = 1 + x 2 +   3 y e acima do retângulo R = 1,2 × [ 0,3 ] . Use a soma de Riemann com m = n = 2 e escolha os pontos de amostragem como os cantos inferiores esquerdos.

(b) Use a Regra do Ponto Médio para estimar o volume do item (a).

Passo 1

E ai galerinha, show de bola?

Bora fazer mais uma?

Encostaa

Iremos utilizar a soma de Riemann com m = n = 2 sobre a região R = 1,2 × [ 0,3 ] , para que possamos estimar o volume do sólido que se encontra abaixo da superfície z = f x ,   y = 1 + x 2 + 3 y e acima R. Os retângulos são mostrados na figura abaixo e a área de cada sub retângulo ∆ A = 0.75 .

Os sub retângulos são mostrados na figura abaixo

Passo 2

  1. Então, obtemos ∆ x = 0.5 ,   ∆ y = 1.5     e   ∆ A = 3 / 4
  2. Se f x ,   y ≥ 0 , então o volume do sólido que está acima do retângulo R e abaixo da superfície z = f ( x ,   y ) é V = ∬ R f x ,   y d A . Nós temos z = 1 + x 2 + 3 y

    Portanto

    V = ∬ R 1 + x 2 + 3 y   d A

    Pela imagem do passo 1, conseguimos obter os pontos de amostra nos cantos inferiores esquerdos como

    1 ,   0 , 1.5 ,   0 , 1 ,   1.5   e   ( 1.5 ,   1.5 )

    Passo 3

    Portanto, o volume do sólido é dado como:

    V = 3 4 1 + 1 2 + 3 0 + 1 + 1.5 2 + 3 0 + 1 + 1 2 + 3 1.5 + 1 + 1.5 2 + 3 1.5

    V = 3 4 2 + 3.25 + 6.5 + 7.75

    V = 3 4 19.5

    V = 14.625

    Portanto, o volume do sólido é dado por 14.625 .

    Passo 4

  3. Aproximando o volume usando a Regra do Ponto Médio com m = n = 2 , calculamos f x ,   y = 1 + x 2 + 3 y nos centros de quatro retângulos mostrados na figura do passo 1. Logo x 1 = 1.25 ,   x 2 = 1.75 ,   y 1 = 0.75 ,   y 2 = 2.25 . A área de cada sub – retângulo ∆ A = 0.75

Como mostrado na figura do passo 1, temos que nossos pontos médios do retângulo é

1.25 ,   0.75 , 1.75,0.75 ,   1.25 ,   2.25   e     ( 1.75 ,   2.25 )

Passo 3

Então o volume do sólido e dado por

V = 3 4 1 + ( 1.25 ) 2 + 3 0.75 + 1 + 1.75 2 + 3 0.75 + 1 + ( 1.25 ) 2 + 3 2.25 + 1 + 1.75 2 + 3 2.25

V = 3 4 ( 4.8125 + 6.3125 + 9.3125 + 10.8125 )

V = 3 4 31.25

V = 23.4375

Portanto, o volume do sólido é dado por 23.4375 .

Resposta

  1. Portanto, o volume do sólido é dado por 14.625 .
  2. Portanto, o volume do sólido é dado por 23.4375 .

Exercícios de Livros Relacionados

Calcular underset(R)(∬) f (x , y) d x d y , onde:b) f (x , y) = y e^(x y) ; R é o retângulo (0 = x = 3)/(0 = y = 1)
Calcule a integral iterada.int_0^1 int_0^3 e^(x + 3 y) d x d y
Utilize um sistema de computação algébrica para determinar o valor exato da integral ∬ Rx 5 y 3 e x y d A onde R = 0 ,1 × 0 ,1 . Em seguida, use o SCA para desenhar o sólido cujo volume é dado pela in
Utilizando o Exercício 2, calcule: d )∬ A x y e x 2 - y 2d x d y , onde A é o retângulo - 1 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 3 .
Calcule a integral iterada.int_1^4 int_1^2 ((x)/(y) + (y)/(x)) d y d x