Exercícios Resolvidos de Região Retangular e Teorema de Fubini

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE learning, 2010, pp. 915

Calcule o valor da integral dupla

R   x - 3 y 2   d A ,

onde R = { ( x , y ) | 0 x 2 ,   1 y 2 } .

Passo 1

Vamos desmembrar a integral utilizando o Teorema de Fubini.

R   x - 3 y 2   d A = 1 2 0 2 x - 3 y 2 d x   d y

Note que o intervalo da integral de fora está de acordo com d y e o da de dentro, com d x . E se você quisesse integrar ao contrário? Sem problemas, basta o intervalo estar de acordo:

0 2 1 2 x - 3 y 2 d y   d x

Você encontrará o mesmo valor! Nesse exercício, vamos optar pela 1ª opção.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora você deve integrar em relação a x ,   ou seja, resolver a integral de dentro (tomando y como constante).

1 2 0 2 x - 3 y 2   d x d y

0 2 x - 3 y 2 d x =

=   x 2 2 - 3 x y 2 x = 0 x = 2 =

= 4 2 - 3 2 y 2 - 0 =

= 2 - 6 y 2

Passo 3

Devemos, então, integrar em relação a y , substituindo o valor que encontramos no passo 2.

1 2   2 - 6 y 2   d y =

= 2 y - 6 y 3 3 y = 1 y = 2 =

= 2 2 - 2 ( 8 ) - 2 ( 1 ) - 2 ( 1 )   =

= 4 - 16 - 2 - 2 = - 12

Resposta

- 12

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