Exercícios Resolvidos de Região Retangular e Teorema de Fubini

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Enunciado

Calcule as integrais a seguir

∫ ∫ Ω x e y d A ;   Ω   =   [ 0,2 ] × [ 0,3 ]

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de cálculo . Dessa vez uma para calcular integral dupla.

∫ ∫ Ω x e y d A ;   Ω   =   [ 0,2 ] × [ 0,3 ]

parece complicado, mas é bem simples. Já temos o nosso domínio de integração que

  Ω   =   [ 0,2 ] × [ 0,3 ]

ou seja, temos que 0 ≤ x ≤ 2   e   0 ≤ y ≤ 3

Dessa forma, a integral fica

∫ ∫ Ω x e y d A ;   Ω   =   [ 0,2 ] × [ 0,3 ]

= ∫ 0 2 ∫ 0 3 x e y d y d x ;

ou seja, integramos primeiro em y e depois em x

Passo 2

Vamos começar fazendo a integral de dentro de

= ∫ 0 2 ∫ 0 3 x e y d y d x ;

integrando

= ∫ 0 3 x e y d y

obtemos:

x e y | y = 3 y = 0

= x e 3 - x

simplificando

= x ( e 3 - 1 )

Agora substituímos isso na integral original. Então

∫ 0 2 ∫ 0 3 x e y d y d x ;

Fica

∫ 0 2 x ( e 3 - 1 ) d x

Que é uma integral polinomial. Então

∫ 0 2 x ( e 3 - 1 ) d x = x 2 / 2     * ( e 3 - 1 ) | x = 2 x = 0  

calculando, temos que

∫ 0 2 ∫ 0 3 x e y d y d x = 2 ( e 3 - 1 )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

2 ( e 3 - 1 )

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