Exercícios Resolvidos de Região Retangular e Teorema de Fubini

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Enunciado

Esboce a região de integração e calcule as integrais a seguir

( a ) ∫ 0 2 ∫ x 2 2 x x y   d y d x

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado nos pede para calcularmos a seguinte integração

∫ 0 2 ∫ x 2 2 x x y   d y d x

e também para esboçarmos a região de integração:

x 2   ≤   y   ≤   2   x e 0   ≤   x   ≤   2 .

Primeiro esboçar essa região e depois calcular a integral!

Passo 2

Para esboçar a região de integração da integral

∫ 0 2 ∫ x 2 2 x x y   d y d x

olhamos para os limites de integração

x 2   ≤   y   ≤   2   x e 0   ≤   x   ≤   2 .

Ou seja, esboçamos os gráficos de f ( x ) = x 2 e f ( x ) =   2   x para 0   ≤   x   ≤   2 :

Passo 3

Agora vamos resolver as integrais, começando por y , pois seus limites de integração dependem de x :

∫ 0 2 ∫ x 2 2 x x y   d y d x = ∫ 0 2 x [ y 2 2 ] | x 2 2 x   d x = ∫ 0 2 x [ 4 x 2 - x 4 2 ]   d x

∫ 0 2 x [ 4 x 2 - x 4 2 ]   d x = ∫ 0 2 ( 2 x 3 - x 5 2 )   d x

Passo 4

Resolvendo a integral em x :

∫ 0 2 ( 2 x 3 - x 5 2 )   d x = [ x 4 2 - x 6 12 ] | 0 2 = 2 4 2 - 2 6 12 = 8 - 16 3 = 8 3

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

∫ 0 2 ∫ x 2 2 x x y   d y d x = 8 3 .

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