Exercícios Resolvidos de Região Retangular e Teorema de Fubini

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Enunciado

Calcule a integral dupla sobre a região R dada.

b ) ∬ R x 5 - y 5 2 d A ,   R = x , y ��� R 2 ; 0 ≤ x ≤ 1 ,   - 1 ≤ y ≤ 1

Passo 1

Oi, tudo bem? Vou te ajudar a resolver essa questão! Vamos lá?

O problema nos deu essa integral dupla

∬ R x 5 - y 5 2 d A

E a região retangular:

0 ≤ x ≤ 1

- 1 ≤ y ≤ 1

E pediu para calcular isso! Mas qual é o pulo do gato?

É descobrir qual a melhor ordem de integração! O integrando em x tem a mesma dificuldade de começar em y , pois temos polinômios, então vamos usar

d A = d x   d y

Você pode tentar outra ordem e verificar que temos o mesmo resultado!

Beleza? Agora é só montar a integral e #partiu resolver!

Mas relaxa, vou fazer junto com você!

Passo 2

Agora vamos montar a integral! Nossa integral é

∬ R x 5 - y 5 2 d A = ∬ R x 10 - 2 x 5 y 5 + y 10 d A

Os limites de integração

0 ≤ x ≤ 1

- 1 ≤ y ≤ 1

E o diferencial de área

d A = d x   d y

Agora vamos juntar

∫ - 1 1 ∫ 0 1 x 10 - 2 x 5 y 5 + y 10 d x d y

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora é #partiu resolver, primeiro em x e aplicar os limites:

∫ - 1 1 x 11 11 - 2 x 6 y 5 6 + y 10 x   0 1 d y = ∫ - 1 1 1 11 - y 5 3 + y 10   d y

Tranquilo?

Beleza? Agora vamos integrar em y :

∫ - 1 1 1 11 - y 5 3 + y 10   d y

= y 11 - y 6 18 + y 11 11 - 1 1

Tudo bem? Agora é só aplicar os limites!

= 1 11 - 1 18 + 1 11 - - 1 11 - 1 18 - 1 11

2 11 - 1 18 + 2 11 + 1 18 = 4 11

Pronto! Essa é nossa resposta!

Beleza? Espero ter ajudado!

Resposta

4 11

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