Exercícios Resolvidos de Região Retangular e Teorema de Fubini

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Enunciado

Calcule a integral dupla sobre a região R dada.

d ) ∬ R x y 3 x 2 + 1 d A ,   R = x , y ∈ R 2 ; 0 ≤ x ≤ 1 ,   0 ≤ y ≤ 2

Passo 1

Oi, tudo bem? Vou te ajudar a resolver essa questão! Vamos lá?

O problema nos deu essa integral dupla

∬ R x y 3 x 2 + 1 d A

E a região retangular:

0 ≤ x ≤ 1

0 ≤ y ≤ 2

E pediu para calcular isso! Mas qual é o pulo do gato?

É descobrir qual a melhor ordem de integração! O integrando em y é pouco mais simples (pois temos apenas um polinêmio), e os limites de integração são números, podemos usar

d A = d y   d x

Você pode tentar outra ordem e verificar que temos o mesmo resultado!

Beleza? Agora é só montar a integral e #partiu resolver!

Mas relaxa, vou fazer junto com você!

Passo 2

Agora vamos montar a integral! Nossa integral é

∬ R x y 3 x 2 + 1 d A

Os limites de integração

0 ≤ x ≤ 1

0 ≤ y ≤ 2

E o diferencial de volume

d A = d y   d x

Agora vamos juntar

∫ 0 1 ∫ 0 2 x y 3 x 2 + 1 d y d x

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora é #partiu resolver, primeiro em y :

∫ 0 1 ∫ 0 2 x y 3 x 2 + 1 d y d x

= ∫ 0 1 y 4 4 y = 0 2 . x x 2 + 1 d x   = 2 4 4 ∫ 0 1 x x 2 + 1   d x

Beleza? Agora vamos integrar em x :

u = x 2 + 1 → d u = 2   x d x

Quando x = 0 → u = 1 , quando x = 1 → u = 2 , integrando temos

4 ∫ 1 2 1 u d u 2 = 2 ln ⁡ u 1 2 = 2 ln ⁡ 2

É isso!

Pronto! Essa é nossa resposta!

Beleza? Espero ter ajudado!

Resposta

2 ln ⁡ 2

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