Exercícios Resolvidos de Região Retangular e Teorema de Fubini

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Enunciado

Esboce a região cuja área é dada pela integral

∫ π / 4 3 π / 4 ∫ 1 2 r d r d θ

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos começar analisando a nossa integral:

∫ π / 4 3 π / 4 ∫ 1 2 r d r d θ

A primeira parte importante é destacar aqui os intervalos de integração:

1 ≤ r ≤ 2

π 4 ≤ θ ≤ 3 π 4

Além disso, importante lembrarmos como transformar as coordenadas polares:

x = r c o s θ

y = r s e n ( θ )

J = r

Show, com essas informações, a gente vai conseguir calcular.

Passo 2

Vamos começar pelo intervalo do valor do raio.

1 ≤ r ≤ 2

Se a gente for analisar as coordenadas polares, vamos ter

x = r c o s θ

y = r s e n ( θ )

Se somarmos cada componente elevada ao quadrado:

x 2 + y 2 = r 2 c o s 2 θ + r 2 s e n 2 ( θ )

x 2 + y 2 = r 2

Pelos valores do raio

r = 1 → x 2 + y 2 = 1

r = 2 → x 2 + y 2 = 4

Reparem que temos duas circunferências. A região queremos é fica no intervalo entre elas:

No caso, é a nossa região Rosa

Passo 3

Agora, vamos olhar para o intervalo de θ

π 4 ≤ θ ≤ 3 π 4

Para ficar mais simples de enxergar, vamos trocar os valores por graus:

45 º ≤ θ ≤ 135 º

Juntando com a imagem anterior:

Resposta

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