Exercícios Resolvidos de Região Retangular e Teorema de Fubini

Ver Teoria

Enunciado

Faça as mudanças de variáveis adequadas (transformação de coordenadas) e resolva a integral

I = ∬ R y - 4 x y + 4 x d A

Sendo R a região limitada pelas retas y = 4 x , y = 4 x + 2 , y = 2 - 4 x e y = 5 - 4 x .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma integral dupla em uma região limitada por quatro retas e pediu pra gente resolver usando as mudanças de variáveis adequadas. Mas que mudanças seriam essas?

Bom, existe um teorema no cálculo que nos dá a relação:

∬ R f ( x ,   y ) d A = ∬ S f x u ,   v ,   y u ,   v ∂ x ,   y ∂ ( u ,   v ) d u d v

Repare que ∂ x ,   y ∂ ( u ,   v ) é o Jacobiano, presente em qualquer mudança de variáveis, e f x u ,   v ,   y u ,   v é a nossa função escrita em termos de u e v .

Então, o que nós vamos fazer é encontrar um x ( u ,   v ) e y ( u ,   v ) , encontrar os novos limites de integração em função das novas variáveis, calcular o Jacobiano e substituir tudo na equação acima.

Vamos lá!

Passo 2

Nós temos a função f x ,   y = y - 4 x y + 4 x . Vamos começar chamando:

u = y - 4 x

v = y + 4 x

Vamos resolver essas equações como um sistema, pra encontrar x e y . Dá primeira equação, temos:

y = u + 4 x

Substituindo na segunda equação:

v = u + 4 x + 4 x

v = v + 8 x

Isolando x :

→ x = 1 8 ( v - u )

Substituindo x em y = u + 4 x , temos:

y = u + 4 1 8 v - u

→ y = 1 2 ( v + u )

Passo 3

Agora vamos encontrar nossos limites de integração. O enunciado nos disse que a região de integração é limitada pelas retas y = 4 x , y = 4 x + 2 , y = 2 - 4 x e y = 5 - 4 x . Plotando isso em um gráfico, fica assim:

Repare que a nossa região R é essa em amarelo. Essa região é limitada horizontalmente por y = 4 x + 2 e y = 4 x . Logo, x varia no intervalo:

y - 2 4 ≤ x ≤ 1 4 y

E ela é limitada verticalmente por y = 2 - 4 x e y = 5 - 4 x . Logo,

2 - 4 x ≤ y ≤ 5 - 4 x

Mas esses intervalos precisam estar em termos de u e v . Então, vamos substituir os resultados que encontramos no passo anterior ( x = 1 8 ( v - u ) e y = 1 2 ( v + u ) ) para obter:

0 ≤ u ≤ 2

2 ≤ v ≤ 5

Passo 4

Agora só falta encontrar nossa f x u ,   v ,   y u ,   v . Pra isso vamos substituir x = 1 8 ( v - u ) e y = 1 2 ( v + u ) na equação:

y - 4 x y + 4 x = 1 2 v + u - 4 1 8 v - u 1 2 v + u + 4 1 8 v - u

1 2 v + 1 2 u - 1 2 v + 1 2 u 1 2 v + 1 2 u + 1 2 v - 1 2 u = u v

Ah, não podemos esquecer do Jacobiano.

Pra calcular o Jacobiano, vamos fazer:

∂ x ,   y ∂ ( u ,   v ) = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v = - 1 8 1 8 1 2 1 2

Calculando esse determinante, temos:

∂ x ,   y ∂ ( u ,   v ) = - 1 8

Ou

∂ x ,   y ∂ ( u ,   v ) = 1 8

Passo 5

Agora podemos montar nossa integral:

∬ R y - 4 x y + 4 x d A = ∫ 2 5 ∫ 0 2 u v 1 8   d u d v

Jogando a constante pra fora das duas integrais:

1 8 ∫ 2 5 ∫ 0 2 u v   d u d v

Vamos começar calculando a integral em u :

1 8 ∫ 2 5 1 v ∫ 0 2 u   d u d v

1 8 ∫ 2 5 1 v u 2 2 0 2 d v = 1 8 ∫ 2 5 1 v 2 d v

Agora vamos calcular a integral em v :

2 8 ∫ 2 5 1 v d v

1 4 ln ⁡ v 2 5

= 1 4 ( ln ⁡ 5 - ln ⁡ 2 )

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

1 4 ( ln ⁡ 5 - ln ⁡ 2 )

Exercícios de Livros Relacionados

Calcular underset(R)(∬) f (x , y) d x d y , onde:b) f (x , y) = y e^(x y) ; R é o retângulo (0 = x = 3)/(0 = y = 1)
Calcule a integral iterada.int_0^1 int_0^3 e^(x + 3 y) d x d y
Utilize um sistema de computação algébrica para determinar o valor exato da integral ∬ Rx 5 y 3 e x y d A onde R = 0 ,1 × 0 ,1 . Em seguida, use o SCA para desenhar o sólido cujo volume é dado pela in
Utilizando o Exercício 2, calcule: d )∬ A x y e x 2 - y 2d x d y , onde A é o retângulo - 1 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 3 .
Calcule a integral iterada.int_1^4 int_1^2 ((x)/(y) + (y)/(x)) d y d x