Exercícios Resolvidos de Região Retangular e Teorema de Fubini

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Enunciado

Esboce a região de integração e calcule as integrais a seguir

d ) ∫ - 1 1 ∫ 0 | x | d y d x

Passo 1

Oi, tudo bem?

Vamos olhar com carinho essa integral aqui

∫ - 1 1 ∫ 0 x d y d x

O problema pediu para esboçar a região e para calcular! Bom, você sabe por onde começar?

A ideia é começar olhando para a ordem de integração, no nosso caso

d y   d x

E analisar os limites de integração! O mais de dentro está relacionado com o y e o mais externo está relacionado com o x , assim

0 ≤ y ≤ | x |

- 1 ≤ x ≤ 1

A ideia é retirar quatro equações (os extremos dos limites), esboçar todas juntas no mesmo gráfico e encontrar os pontos de encontro! E depois? Depois é #partiu integrar! Beleza?

Bora começar?

Passo 2

Nossos limites são

0 ≤ y ≤ | x |

- 1 ≤ x ≤ 1

Tiramos daqui quatro equações

y = | x |

y = 0

x = - 1

x = 1

Então vamos esboçar essas quatro curvas! Ficamos com

Nossa região é aquela que tem as retas y = x ,   y = - x por cima e o eixo x ( y = 0 ) por baixo. Por simetria podemos fazer

2 ∫ 0 1 ∫ 0 x d y   d x

Tudo bem até aqui? Agora é #partiu integrar!

Passo 3

Integrando em y temos

2 ∫ 0 1 ∫ 0 x d y   d x = 2 ∫ 0 1 y 0 x d x = 2 ∫ 0 1 x   d x

E por fim em x

= 2 x 2 2 0 1 = 2 . 1 2 = 1

Beleza? Espero ter ajudado!

Resposta

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