Exercícios Resolvidos de Relacionando Núcleo com Espaço Coluna

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Enunciado

Considere as afirmativas abaixo:

I - Se A é uma matriz 5   ×   3 injetiva, então D i m ( N ( A ) )   =   2 .

II - Se B é uma matriz 3   ×   5 sobrejetiva, então D i m ( N ( B ) )   =   2 .

(a) I é falsa e I I é verdadeira.

(b) I é verdadeira e I I é falsa.

(c) Ambas são verdadeiras.

(d) Ambas são verdadeiras.

Passo 1

Bom, se a matriz é injetiva, a dimensão do seu núcleo deve ser zero! Mas está dizendo que:

D i m ( N ( A ) )   =   2 ≠ 0

O que contradiz com a informação da matriz ser injetiva. Assim, essa alternativa é falsa.

Agora na afirmativa I I temos uma matriz sobrejetiva, ou seja, cuja imagem é igual ao contradomínio. Se elas são iguais suas dimensões também vão ser iguais, logo:

D i m I m A = 3

Agora, pelo TNI podemos achar qual deveria ser a dimensão do núcleo e comparar com a fornecida pra gente na questão.

D i m I m A + D i m N A = 5

D i m N A = 5 - 3 = 2

Ou seja, essa é verdadeira!

Resposta

a