Exercícios Resolvidos de Relacionando Núcleo com Espaço Coluna

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Enunciado

Suponha que a matriz A 6 × 8 e o vetor b ∈ R 6 são tais que a solução geral de A x = b tem duas variáveis livres. Se b ≠ c ∈ R 6 podemos afirmar que:

( a ) A solução geral de A x = c pode ter apenas uma variável livre.

( b ) A solução geral de A x = c sempre tem duas variáveis livres.

( c ) A x = c pode não ter solução.

( d ) A x = c pode ter uma única solução.

Passo 1

Essa questão tem uma lógica meio obscura então presta bastante atenção para não se perder no caminho! Bom, sabemos que A é uma matriz com 6 linhas e 8 colunas. E ele falou que a solução geral de A x = b tem duas variáveis livres! Bom, como é a solução geral de um sistema? Assim oh:

S = v + S 0

Onde v é um vetor qualquer que resolva o sistema e S 0 é o conjunto de soluções do sistema homogêneo A x = 0 . É ele que nos interessa! Se temos duas variáveis livres então nosso sistema homogêneo tem dimensão 2 concorda? A dimensão de um sistema homogêneo sempre corresponde ao número de variáveis livres. Bom, mas o que é a solução do sistema homogêneo? É o núcleo da matriz certo!? Então chegamos a conclusão de que:

dim ⁡ N u c A = 2

Analisando nossa matriz sabemos que como ela é 6 × 8 , ela leva vetores do R 8 em vetores do R 6 . Ou seja, seu domínio é o R 8 e seu contradomínio é o R 6 . Agora aplicando o T N I temos:

dim ⁡ I m A + dim ⁡ N u c A ⏟ 2 = dim ⁡ D i m A ⏟ 8

dim ⁡ I m A = 6

Passo 2

No passo anterior chegamos à conclusão de que a dimensão da imagem da nossa matriz é 6 . E o que isso quer dizer? Bom, repare que a dimensão do contradomínio é 6 também! Como a dimensão da imagem é igual à do contradomínio temos que a matriz é sobrejetiva! E o que isso nos diz? Diz que ela sempre tem solução! Isso elimina a letra c .

Também vimos que a dimensão do núcleo é 2 . Isso quer dizer que a matriz não é injetiva e, portanto, o sistema A x = c nunca possui solução única. Isso elimina a d .

Passo 3

Ufa, a parte mais difícil passou. Agora vamos voltar um pouco lá pra quando falamos da solução geral! As variáveis livres estão associadas ao S 0 que é a solução do sistema homogêneo A x = 0 . Isso quer dizer que não importa o c do nosso sistema A x = c , o S 0 sempre permanecerá inalterado já que ele só depende da matriz A .

Isso quer dizer que sempre teremos sempre 2 variáveis livres na solução geral desse sistema. O que muda será o v que estamos somando.

Resposta

Letra ( b )