Exercícios Resolvidos de Relacionando Núcleo com Espaço Coluna

Ver Teoria

Enunciado

Sejam u e v vetores-coluna não nulos de R 3 . Qual a dimensão da imagem da matriz A = u v T

( a ) 1

( b ) 3

( c ) 6

( d ) 0

Passo 1

Bom, primeiro vamos ver como essa matriz A é formada. Se chamarmos:

u = a b c

v = x y z

Temos que:

A = u v T = a b c x y z = a x a y a z b x b y b z c x c y c z

Como sabemos que a dimensão do espaço coluna (imagem da matriz) é igual à dimensão do espaço linha, vamos analisar o espaço gerado pelas linhas. Consegue perceber que todas as linhas são o vetor x , y , z multiplicado por um escalar diferente?

A primeira linha é a x , y , z , a segunda linhas é b x , y , z e a terceira linha é c x , y , z . Ou seja, todas as linhas fazem parte da mesma reta! Logo, a dimensão do espaço gerado por elas é 1 o que implica na dimensão da imagem da matriz também ser igual a 1 .

Resposta

Letra ( a )