Exercícios Resolvidos de Relacionando Núcleo com Espaço Coluna

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Enunciado

Seja A uma matriz 9 × 7 cujas colunas geram um espaço de dimensão 3. A dimensão do núcleo de A é:

(a) 2

(b) 3

(c) 4

(d) 5

Passo 1

Se A é uma matriz 9 × 7 , então ela é uma transformação linear T : R 7 → R 9 .

Logo:

dim ⁡ d o m A = dim ⁡ R 7 = 7

O enunciado disse que as colunas de A geram um espaço de dimensão 3.

Mas o espaço gerado pelas colunas é justamente a imagem de A.

Por isso:

dim ⁡ I m A = 3

Passo 2

Agora temos dimensão da imagem e dimensão do domínio e queremos saber a dimensão do núcleo.

Mas essas três coisas se relacionam através do teorema núcleo imagem, né?

d i m D o m A = dim ⁡ I m A + d i m ⁡ ( N u c A )

7 = 3 + dim ⁡ N u c A

Logo:

dim ⁡ N u c A = 4

Resposta

(c) 4