Exercícios Resolvidos de Relacionando Núcleo com Espaço Coluna

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Enunciado

Encontre uma base para o espaço linha e coluna da matriz abaixo e de a dimensão do núcleo.

A = 1 3 - 2 1 2 1 3 2 3 4 5 6

Passo 1

Bom, vamos começar achando uma base para o espaço linha, assim basta que escalonemos a matriz como sempre fizemos.

1 3 - 2 1 2 1 3 2 3 4 5 6

1 3 - 2 1 0 - 5 7 0 3 4 5 6 L 2 ← L 2 - 2 L 1

1 3 - 2 1 0 - 5 7 0 0 - 5 11 3 L 3 ← L 3 - 3 L 1

1 3 - 2 1 0 - 5 7 0 0 0 4 3 L 3 ← L 3 - L 2

Como podemos ver, nenhuma linha acabou se anulando e portanto uma possível base α se para o espaço linha é:

α = 1,3 , - 2,1 , 0 , - 5,7 , 0 , 0,0 , 4,3

E com isso já podemos dizer a dimensão do núcleo! Sabemos que a dimensão do espaço linha é 3 , que é igual a do espaço coluna (ou imagem), então usando o teorema núcleo imagem:

dim ⁡ N u c A + dim ⁡ I m A = n

Sendo n o número de colunas. Como n = 4 e dim ⁡ I m A = 3 :

dim ⁡ N u c A + 3 = 4 ⇒

dim ⁡ N u c A = 1

Passo 2

Agora só falta achar uma base para o espaço coluna! Vamos escalonar a sua transposta!

A T = 1 2 3 3 1 4 - 2 3 5 1 2 6

1 2 3 0 - 5 - 5 - 2 3 5 1 2 6 L 2 ← L 2 - 3 L 1

1 2 3 0 - 5 - 5 0 7 11 1 2 6 L 3 ← L 3 + 2 L 1

1 2 3 0 - 5 - 5 0 7 11 0 0 3 L 4 ← L 4 - L 1

1 2 3 0 - 5 - 5 0 0 4 0 0 3 L 3 ← L 3 + 7 5 L 2

1 2 3 0 - 5 - 5 0 0 4 0 0 0 L 4 ← L 4 - 3 4 L 3

Assim, uma possível base para o espaço coluna de A é:

β = 1,2 , 3 , 0 , - 5 , - 5 , 0,0 , 4

Resposta

Base do espaço linha:

α = 1,3 , - 2,1 , 0 , - 5,7 , 0 , 0,0 , 4,3

Base do espaço coluna:

β = 1,2 , 3 , 0 , - 5 , - 5 , 0,0 , 4

dim ⁡ N u c A = 1