Exercícios Resolvidos de Relacionando Núcleo com Espaço Coluna

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Enunciado

Considere as afirmativas:

  1. A x → = 0 → tem solução única se e só se as colunas de A são linearmente independentes.
  2. A x → = b → tem solução para todo b → se e só se as linhas de A são linearmente independentes.

a I e I I são verdadeiras.

b I e I I são falsas.

c I é verdadeira, mas I I é falsa.

d I é falsa, mas I I é verdadeira.

Passo 1

Afirmativa I :

Pensa comigo, se as colunas de A são linearmente dependentes, elas podem ser escritas como uma combinação umas das outras. Se isso acontece, então elas podem ser zeradas como uma combinação de umas com as outras. Veja essa matriz A aqui:

A = ↑ ↑ ↑ v 1 v 2 v 3 ↓ ↓ ↓

Suponha que v 1 + v 2 = v 3 . Na realidade podia ser uma combinação qualquer, mas vamos usar essa que fica mais fácil. Se multiplicarmos a matriz pelo vetor 1 , 1 , - 1 , teremos:

↑ ↑ ↑ v 1 v 2 v 3 ↓ ↓ ↓ 1 1 - 1 = v 1 + v 2 ⏟ v 3 - v 3 = 0

Opa, então esse vetor e todos os seus múltiplos já fazem parte do núcleo de A . Ou seja, se A tiver colunas L D sempre teremos mais de uma solução, pois sempre poderemos explorar essa questão da combinação dos vetores.

A única forma de termos uma solução única é se as colunas de A forem L I . Nesse caso teremos apenas a solução trivial que é o vetor 0 , 0,0 .

Passo 2

Afirmativa I I :

Pra essa ficar mais clara vamos pensar nos 3 tipos de matrizes que podemos ter:

Matriz com mais linhas que colunas: Essa já ta fora automaticamente. Para o sistema possuir solução para todo b → precisamos que a matriz seja sobrejetiva! Matrizes com mais linhas que colunas nunca serão sobrejetivas!!

Matriz com mais colunas que linhas: Essa pode ou não ser sobrejetiva. Imagine uma matriz com n colunas e m linhas ( n > m ). Nesse caso, para ser sobrejetiva precisamos que a imagem tenha dimensão m (contra-domínio)!

Se as m linhas forem L I , nosso espaço-linha terá dimensão m , então nossa imagem (espaço-cluna) terá dimensão m como queríamos.

Por outro lado, se as m linhas são L D , teremos um espaço-linha com dimensão menor que m , o que implica em uma imagem com dimensão menor que m . Logo não é sobrejetora e não nos serve.

Até aqui a afirmativa está correta, vamos ver o último caso.

Matriz quadrada: Em uma matriz quadrada, se uma matriz é injetora, ela é sobrejetora. Se uma matriz quadrada tem linhas ou colunas L D , ela não é injetora e portanto não é sobrejetora! Então as linhas têm sim que ser L I !!

Ufa, essa foi uma análise bem complicadinha né haha. Se não tiver entendido muito bem dá mais algumas lidas. Se ainda não entender pede um help pra gente haha xD. No final das contas chegamos a conclusão de que A x → = b → tem solução para todo b → se e só se as linhas de A são linearmente independentes. Essa é verdadeira também.

Resposta

Letra ( a )