Exercícios Resolvidos de Relacionando Núcleo com Espaço Coluna

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Enunciado

Seja A uma matriz m × n , com m ≥ n . Assinale a afirmativa VERDADEIRA:

( a ) Se N u c A = { 0 → } , então dimensão de I m A ≠ n

( b ) Se N u c A = { 0 → } , então dimensão de I m A = m

( c ) Se N u c A ≠ { 0 → } , então a dimensão de I m A ≠ m

( d ) Se N u c A ≠ { 0 → } , então dimensão de I m A = n

Passo 1

Ao bater o olho você já tem que perceber: trata-se de uma questão de Teorema do Núcleo-Imagem. Afinal, todas as alternativas falam de uma relação entre o núcleo e a imagem de uma matriz.

Aplicando o TNI:

dim ⁡ I m A + dim ⁡ N u c A = d i m ⁡ ( R n )

Ou seja,

dim ⁡ I m A + dim ⁡ N u c A = n

Agora vamos dar uma olhada nas alternativas.

Passo 2

Duas das quatro alternativas começam com a hipótese N u c A = { 0 → } , então vamos começar por aí.

Se N u c A = { 0 → } , então dim ⁡ N u c A = 0 . Substituindo na equação ali de cima:

dim ⁡ I m A + 0 = n

dim ⁡ I m A = n

Já descartamos a letra ( a ) que diz que é diferente de n ;

Já descartamos a letra ( b ) , que diz que é igual a m .

Passo 3

Vamos avaliar agora a hipótese N u c A ≠ { 0 → } .

Se N u c A ≠ { 0 → } , então dim ⁡ N u c A > 0 .

Assim, dim ⁡ I m A + n ú m e r o   m a i o r   q u e   z e r o = n , pelo TNI.

Isso nos leva a concluir que dim ⁡ I m A < n .

Isso já nos garante que a resposta não é ( d ) .

Só não usamos uma informação do enunciado, o fato que m ≥ n .

Mas se dim ⁡ I m A < n e m ≥ n , dim ⁡ I m A < m .

Como é menor que m , não pode ser igual a m .

A afirmativa correta é “se N u c A ≠ 0 , então dim ⁡ I m A ≠ m

Resposta

Letra ( c )